Comprensión de $N(d_1)$ y $N(d_2)$

Question

En primer lugar, si la solución del movimiento browniano geométrico es $S_t = S_0 \exp((r-\sigma^2)t + \sigma W_t$ entonces si tengo un pago que no es necesariamente una opción de compra completa, por ejemplo, si el precio de ejercicio $K$ se cruza entonces un pago de 5000 acciones en el momento se libera si el precio de las acciones es mayor que su valor inicial en un 20% después de 6 meses, ¿cómo se llega a $N(d_1)$ o $N(d_2)$ ? La conexión que estoy haciendo aquí es que $d_1 = \dfrac{\ln(S_t/K) + (r - \sigma^2)\sqrt{t}}{\sigma \sqrt{t}}$ y si lo resolviera según un método que me han enseñado sería lo siguiente $V_0 = \exp(-rt)E[X|\mathscr{F}_t]$ donde X es el pago especificado.

Entonces: \begin {align*} V_0 &= \exp (-rt) \cdot E[10,000 \cdot\mathbb {I}{(S_{0,5} > 1,2S_0)}| \mathscr {F}_t] \\ &=10,000 \cdot\exp (-rt) \cdot P \left ((r- \dfrac {1}{2} \sigma ^2) \cdot t+ \sigma W_t > \ln (1.2) \right ) \\ &= 10,000 \cdot\exp (-rt) \cdot P \left (W_t > \dfrac { \ln (1.2) - (r- \dfrac {1}{2} \sigma ^2)t}{ \sigma } \right ). \end {align*} Esto no es similar a $N(d_1)$ .

Es la fórmula inicial $S_t = S_0\cdot\exp((r-\sigma^2)t + \sigma W_{t}\sqrt{t} )$ ¿más bien?

Answer 1

El modelo de Black Scholes (1973) supone que $\mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ . Así, $$S_t=S_0\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right).$$ Tenga en cuenta el factor $-\frac{1}{2}\sigma^2t$ en el exponencial. Si incorporas los dividendos, sustituye $r$ por $r-q$ . No necesita un plazo adicional $\sqrt{t}$ frente al movimiento browniano ya que, por definición, $W_t\sim N(0,t)$ .

Entonces sí se puede utilizar la fijación de precios neutrales al riesgo, que expresa el tiempo $t$ precio de un siniestro $X$ como $$\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{B_t}{B_T} X\bigg|\mathcal{F}_t\right].$$ Aquí, $(B_t)$ es una cuenta bancaria sin riesgo local que se rige por $\mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t$ . En el mundo de Black-Scholes, $r_t\equiv r$ tal que $\frac{B_t}{B_T}=e^{-r(T-t)}$ .

Describe una opción de tipo europeo que paga una unidad de la acción si el precio final de la acción supera el precio de ejercicio. Se conocen como Llamadas de activo o nada . Su precio es simplemente igual a $$S_te^{-q(T-t)}N(d_1)$$ con el estándar $$ d_1=\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}.$$ Todo lo que tiene que hacer en su aplicación especial es establecer $K= 1.2S_0$ y $T=\frac{1}{2}$ y multiplicar el precio de la opción por 5.000.

Answer 2

En su forma más simple, una opción es una combinación de dos opciones binarias.

El comprador de una opción de compra está largo de un "activo o nada" binario. Es decir, si Spot>Strike, vale Spot; si no, 0. Para financiarlo, está vendiendo una opción de compra "cash-or-nothing": vale Strike si Spot>Strike, si no, 0.

El valor positivo de la opción se deriva, obviamente, del hecho de que cuando el Spot se mueve más allá del Strike, el Spot se mueve pero el Strike no.

Por definición, los dos componentes tienen que tener la misma probabilidad de valer cero o algo así, porque comparten la misma Huelga. El valor del efectivo o nada es el valor actual del Strike * la probabilidad de que sea cero. Esto es N(d2): la probabilidad de que las opciones tengan valor.

N(d1) es el cambio en el valor del activo-o-nada por cambio en Spot. Es mayor porque tanto Spot como la probabilidad de Spot>Strike se mueven a la par. N(d1) capta la probabilidad de un mayor beneficio si la probabilidad de cualquier beneficio aumenta.

Tu formulación me parece N(d2); aunque si estás ejerciendo sobre acciones en lugar de efectivo, el intercambio no es tu strike del 20% sino el valor de las acciones que se intercambian, si está por encima. Así que debería ser N(d1). Pruebe E(10.000 * St, P(St > 1,2 * S0)).