Derivación de la asimetría y la curtosis de la cartera

Question

¿Dónde puedo encontrar la fórmula de la asimetría y la curtosis de la cartera? Puedo encontrar fórmulas en todas partes, pero no sus derivaciones.

Por ejemplo, el variación de la cartera fórmula, $\sigma_P = w^\top \Sigma w$ es bien conocido, donde $\Sigma$ es la matriz de covarianza, y puedo encontrar la derivación de esa fórmula en un montón de libros, pero no puedo encontrar nada en los formuals para:

• asimetría de la cartera , $s_P = w^\top M_3 (w\otimes w)$ y
• curtosis de la cartera , $k_P = w^\top M_4 (w\otimes w\otimes w)$ ,

donde $M_3$ es la matriz de co-skewness y $M_4$ es la matriz de cocurtosis.

Simplemente se dan como son. No soy lo suficientemente fuerte en la teoría de la probabilidad como para usarla para derivar las fórmulas del operador de expectativas. ¿Quién fue la primera persona que las dedujo? ¿Dónde se publicaron por primera vez?

Answer 1

¿Cuál es la base de datos de la que parte? Si sólo tienes la matriz de covarianza, entonces sólo puedes calcular la varianza o la volatilidad de la cartera mediante $$ w^T \Sigma w$$ donde $w$ son las ponderaciones de la cartera y $\Sigma$ es la matriz de covarianza. Si se tienen los rendimientos individuales de los activos compuestos continuamente $r^j_t$ donde $j$ indexa los activos, $j=1,\ldots,N$ y $t$ significa tiempo, $t=1,\ldots,T$ También se pueden calcular los rendimientos de la cartera para cada punto del tiempo $$r_t = \sum_{j=1}^N w_j r^j_t$$ y luego aplicar el estimador de la varianza estándar en $(r_t)_{t=1}^T$ . Volviendo a su pregunta, habiendo $(r_t)_{t=1}^T$ puede calcular la asimetría y la curtosis en esta muestra. Las fórmulas se encuentran en la wikipedia.

Answer 2

La clave aquí está en encontrar que $-$ para nuestra aplicación en las finanzas $-$ La notación del producto de Kronecker es 1) una forma de acortar la notación y 2) una función que está bien representada en cajas de herramientas matemáticas como Matlab o R .

Supongamos que hay $N=3$ retornos aleatorios ( $x_1,x_2,x_3$ ) y algún vector de pesos $w$ de dimensión $N\times 1$ . El vector de los rendimientos esperados con la entrada típica $E(x_i)$ tiene la dimensión $\mu$ es $N\times1$ y $\mu^T\times w$ es un escalar ( $1\times1$ ). La covarianza matriz $\Sigma$ con la entrada típica $E((x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j))$ tiene la dimensión $N\times N$ y $w^T\times \Sigma \times w$ es de nuevo un escalar ( $1\times1$ ). La cohesión tensor $M_3$ con la entrada típica $E((x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)(x_k-\mu_k))$ tiene la dimensión $N\times N\times N$ , y de nuevo $w^TM_3\left(w\otimes w\right)$ es $1\times 1$ . Lo mismo ocurre con la curtosis con $M_4$ de tamaño $N\times N\times N \times N$ .

Efectivamente, cada estadística es simplemente un $K$ -con el objeto de la dimensión, con $K=1,2,3,4$ ...

Ahora a la pregunta: "Cómo calcular el cartera ¿Indiferencia?" (o curtosis)

Supongamos que su matriz de co-skewness $M_3$ se almacena como una matriz tridimensional. Ahora se multiplica por la derecha la matriz tridimensional ( $N \times N \times N$ ) con un $N\times 1$ vector de pesos de la cartera $w$ $-$ : el resultado es un $N\times N$ ¡Matriz! El siguiente paso es la típica multiplicación izquierda/derecha con $w^T$ y $w$ et voilà: Tienes un escalar.

El algoritmo (para la asimetría) es:

• Construye tu $3$ -tensor de asimetría de dimensiones $M_3$ con un elemento típico como el anterior
• Para cada entrada $i$ en la última dimensión, calcula $q_i=w^TM_3(.,.,i)w$ . Esto da lugar a un $N\times 1$ vector (por construcción). Finalmente, $w^Tq$ le da la asimetría de la cartera.

El mismo enfoque funciona para la curtosis de la cartera, es decir, reducir una matriz de 4d a 3d a 2d a 1d a escalar.

¿HORA DE LA VERDAD?