Reequilibrio de la cartera hasta alcanzar las ponderaciones óptimas, incluidos los costes de transacción y sin el componente de efectivo

Question

Considere una cartera con 4 activos (A, B, C, D) con los siguientes precios, cantidades, ponderaciones actuales y ponderaciones objetivo:

Quiero reequilibrar la cartera desde las ponderaciones actuales a las ponderaciones objetivo. Hay una comisión de transacción del 0,2% que se cobra sobre el importe del reequilibrio (es decir, la diferencia entre el peso actual y el peso objetivo) independientemente de si se trata de un aumento o una disminución de ese activo.

Suponiendo que la comisión de transacción se cobra sobre el importe reequilibrado de cada activo, me gustaría alcanzar las ponderaciones objetivo después de tener en cuenta la comisión de transacción. En otras palabras, quiero alcanzar los porcentajes de peso objetivo después de que se hayan pagado todas las comisiones de cada activo.

Aunque sé que los fondos suelen tener un componente de efectivo para cubrir estas comisiones, me interesa este escenario en el que no hay efectivo y la comisión se deduce de cada activo.

Me interesa calcular la cantidad que hay que rebalancear en cada activo para conseguir estas ponderaciones objetivo. Cuál sería la fórmula general para hacerlo?

Answer 1

No creo que haya una solución de forma cerrada. He aplicado un sencillo método iterativo a tu problema de ejemplo. Ver a continuación.

Dejemos que $N=4$ sea el número de activos, indexado por $i$ que van de 1 a $N$ .

Dejemos que $x_i$ ser las asignaciones en dólares antes del rebalanceo (en su ejemplo se llaman "valor (P*Q)").

Dejemos que $w_i$ sean los pesos deseados tras el reequilibrio.

Dejemos que $\theta=0.002$ sea el coste de las transacciones por cada dólar negociado.

Queremos encontrar $y_i$ las asignaciones en dólares tras el reequilibrio.

---

Los costes totales de las transacciones serán $T=\sum_i \theta |y_i-x_i|$

Por desgracia, no podemos calcular $T$ porque depende de lo desconocido $y_i$ . Si tuviéramos una buena estimación de $T$ podríamos calcular el

Valor de la cartera después de los costes de la transacción $Y=\sum_i y_i=\sum_i x_i-T$

y luego la asignación de dólares tras el reequilibrio $y_i=w_i Y$

El método que propongo es: calcular la asignación asumiendo que no hay costes de transacción, formar una estimación de los costes de transacción y encontrar una asignación mejorada. A partir de esta asignación, encontrar una estimación mejorada de los costes de transacción y así sucesivamente.

Con tu ejemplo, la convergencia es muy rápida, ya que sólo requiere dos o tres iteraciones:

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            Estimated                         ReEstimt'd        
 0costAlloc TransCost ValAftCost    NewAlloc  TransCost ValAftCost  NewAlloc
A    168000   64                   167890.2   64.21952              167890.1654
B    113400   73.2                 113325.9   73.34818              113325.8616
C     63000   46                    62958.8   45.91768               62958.8120
D     75600   91.2                  75550.6   91.10122               75550.5744
Tot. 420000  274.4    419725.6     419725.6  274.58659  419725.4134 419725.4134

Si iniciamos una tercera iteración, los costes de transacción estimados son de 274,58671, que difieren del valor anterior sólo en el cuarto decimal, por lo que no mostraré los resultados aquí, las asignaciones son sustancialmente las mismas.

No he demostrado que los resultados siempre converjan. Eso es todo lo que tengo por ahora.

Answer 2

Usando algo de la notación de @noob2, si:

$x_i$ : el importe inicial en dólares del activo i
$t_i$ : el importe en dólares negociado del activo i
$\theta$ : la fracción de la tasa (0,2%).
$w_i$ los pesos de equilibrado de los puestos deseados

Entonces tienes el problema de la minimización:

$$ \min_{t}{f(t)} = \sum_i \left ( \frac{x_i + t_i -\theta|t_i|}{\sum_j x_j +t_j -\theta|t_j|} - w_i\right )^2 $$

El mínimo es cero (pesos objetivo alcanzados para cada activo) y en este punto debemos tener $\frac{\partial f}{\partial t_i} = 0$ .

------- Contiene errores: se deja para la demostración

$$ \frac{\partial f}{\partial t_i} = 2\frac{1-\theta sign(t_i)}{\sum_j x_j + t_j -\theta|t_j|} \left (1 - \frac{x_i + t_i -\theta |t_i|}{\sum_j x_j + t_j -\theta|t_j|} \right )$$

Así que multiplicando a través de at con condiciones de optimalidad se obtiene:

$$ x_i + t_i - \theta|t_i| = \sum_j x_j + t_j -\theta|t_j| \quad \forall i$$

O en notación de álgebra lineal, donde $\mathbf{1}$ es una matriz de unos:

$$ \mathbf{(I - 1)}(\mathbf{t} - \theta |\mathbf{t}|) = (\mathbf{1-I}) \mathbf{x} $$

--------EDIT: Mirando de nuevo, refrescado, la derivada de arriba está mal. La derivada real es más complicada. Dejo esta respuesta aquí por si alguien puede completarla, pero puede que simplemente sea demasiado lioso el álgebra para resolver una solución de optimización de forma cerrada en notación matricial

Para

$X_i = x_i + t_i - \theta | t_i |$ (vector)
$S = \sum_j x_j + t_j -\theta | t_j | $ (escalar)

Entonces:

$$ f(t) = \sum_i \left ( \frac{X_i}{S} - w_i \right )^2 $$

$$ \frac{\partial f}{\partial t_i} = 2 \left ( \frac{X_i}{S} - w_i \right ) \left( \frac{1 - \theta sign(t_i)}{S} \right ) + \sum_j 2 \left( \frac{X_j}{S} - w_j \right ) \left( \frac{-X_j (1-sign(t_i))}{S^2}\right )$$

Cuando se establece la condición de optimalidad y se multiplica:

$$\left ( \frac{X_i}{S} - w_i \right ) + \sum_j \left( \frac{X_j}{S} - w_j \right ) \left( \frac{-X_j}{S}\right ) = 0$$ $$ \implies S X_i - S^2 w_i + \sum_j \left( X_j X_j - S w_j \right ) = 0 \quad \forall i$$

Esto parece sospechosamente una forma cuadrática y probablemente no va a producir una buena fórmula.

Otra cosa que no incluí y que podría haber mejorado las cosas es la restricción: $\sum_j t_j = 0$ Es decir, lo que vendes lo compras en otro activo. Cambiaría las condiciones de optimalidad.