¿Cómo se obtiene la elasticidad de sustitución con funciones implícitas?

Question

Me gustaría derivar la elasticidad de sustitución. Soy consciente de que ya existe un hilo de este tipo con una explicación muy sencilla, pero mi caso es ligeramente diferente y no estoy seguro de cómo diferenciar las funciones implicadas.

Pero permítanme primero presentarles mi problema. Tengo que derivar la elasticidad de sustitución $$\sigma = \frac{f_1 f_2(f_1z_1+f_2z_2)}{z_1z_2[2f_{1,2}f_1f_2-f_{11}(f_2)^2-f_{22}(f_1)^2]}$$ donde tengo la siguiente función de producción $y^0 - f(z_1,rz_1)=0$ para lo cual $r$ se define lo siguiente: $r=\frac{z_2}{z_1}$ .

Como ya he comentado este problema ya está perfectamente resuelto en este hilo: ¿Cómo se obtiene la elasticidad de sustitución?

Pero ahora viene la pista en mi especificación, donde no sé cómo proceder: Tengo que expresar $z_1$ en función de $r$ , de tal manera que $z_1=g(r)$ . La tasa marginal de sustitución puede expresarse así $$MRTS_{21}=\frac{f_1(g(r),rg(r))}{f_2(g(r),rg(r))}$$ ¿Cómo puedo derivar la diferencial de $f(g(r),rg(r))$ que es el primer paso en la derivación de la elasticidad de sustitución. De alguna manera debería utilizar el teorema de las funciones implícitas, pero no estoy seguro de cómo..

¡Espero que alguien pueda explicarme este diferencial!

Salud

Answer 1

Para derivar la fórmula de la elasticidad de sustitución considero una función con dos argumentos $f(x_1,x_2)$ . A continuación, considero una curva de nivel $f(x_1,x_2) = c$ se supone que define $x_2$ en función de $x_1$ . De ello se deduce que

$$\frac{\partial }{\partial x_1} f(x_1,x_2(x_1)) = c \Leftrightarrow \\[8pt] f_1(x_1,x_2) + f_2(x_1,x_2) \frac{\partial x_2}{\partial x_1} = 0 \Leftrightarrow \\[8pt] \frac{\partial x_2}{\partial x_1} = - \frac{f_1(x_1,x_2) }{f_2(x_1,x_2) }$$

dando la pendiente de la curva de nivel en términos de $f_i := \partial f/\partial x_i$ para $i=1,2$ . Dada la definición de MRS concluyo que

$$(1) \ \ MRS(x_1,x_2) := \frac{f_1(x_1,x_2) }{f_2(x_1,x_2) } = -\frac{\partial x_2}{\partial x_1}.$$

A continuación, defina la función de proporción

$$r(x_1) = x_2(x_1)/x_1$$

de nuevo usando eso $x_2$ es una función de $x_1$ . Esta función puede invertirse para obtener $x_1 = r^{-1}(r)$ y utilizando de nuevo que $x_2$ es una función de $x_1$ el MRS puede escribirse como

$$MRS(r) := \frac{f_1(r^{-1}(r),x_2(r^{-1}(r)))}{f_2(r^{-1}(r),x_2(r^{-1}(r)))} $$

y diferenciado con respecto a $r$ para conseguir

$$(2)\ \ \frac{\partial MRS(r)}{\partial r} = \left[\frac{\left(f_{11} + f_{12}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}\right) f_2 - \left(f_{21} + f_{22}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}\right)f_1}{f_2^2} \right]\frac{\partial r^{-1}(r)}{\partial r},$$

donde la expresión entre corchetes es $\partial MRS(x_1,x_2(x_1))/\partial x_1$ .

A continuación, utilizo ese $r^{-1}(r) = x_1$ lo que implica que $\partial r^{-1}(r)/\partial r = 1/\partial r(x_1)/\partial x_1$ y de la definición de $r(x_1)$ se deduce que

$$(3) \ \ \frac{\partial r(x_1)}{\partial x_1} = \frac{\frac{\partial x_2}{\partial x_1} x_1 - x_2}{x_1^2} = \frac{}{}-\frac{f_1}{f_2}\frac{1}{x_1} - \frac{x_2}{x^2_1} = -f_1 r\left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right],$$

usando eso $r =x_1/x_1$ y que $\frac{\partial x_2}{\partial x_1} = - f_1/f_2$ . Insertando el valor recíproco de (3) en (2) resulta que

$$(4)\ \ \frac{\partial MRS(r)}{\partial r} = -\left[\frac{\left(f_{11} + f_{12}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}\right) f_2 - \left(f_{21} + f_{22}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}\right)f_1}{f_2^2} \right] \left[ \frac{1}{f_1 r\left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right]}\right].$$

Lo que queda por hacer es insertar esta expresión en la definición de la elasticidad de sustitución y depurarla. La elasticidad de sustitución se define como la elasticidad de $r = x_2/x_1$ en función de $MRS$ :

$$(5) \ \ \sigma := \frac{MRS}{r} \frac{\partial r}{\partial MRS} = \frac{1}{\frac{r}{MRS} \frac{\partial MRS(r)}{\partial r}}$$

siendo el recíproco de la elasticidad del MRS con respecto a $r=x_2/x_1$ . Insertando (4) en (5) se deduce que

$$1/\sigma =- \left[\frac{r}{f_1/f_2}\right]\left[\frac{\left(f_{11} + f_{12}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}\right) f_2 - \left(f_{21} + f_{22}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}\right)f_1}{f_2^2} \right] \left[ \frac{1}{f_1 r\left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right]}\right],$$

que se reduce al eliminar el factor $r$ y utilizando de nuevo que $\partial x_2/\partial x_2 = -f_1/f_2$ para conseguir

$$1/\sigma =- \left[\frac{1}{f_1/f_2}\right]\left[\frac{\left(f_{11} - f_{12}\frac{f_1}{f_2}\right) f_2 - \left(f_{21} - f_{22}\frac{f_1}{f_2}\right)f_1}{f_2^2} \right] \left[ \frac{1}{f_1 \left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right]}\right] \\[8pt] = -\left[\frac{\left(\frac{f_{11}f_2}{f_1} - f_{12}\right) f_2 - \left(f_{21} \frac{f_2}{f_1}- f_{22}\right)f_1}{f_2^2} \right] \left[ \frac{1}{f_1 \left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right]}\right]\\[8pt] = -\left[\frac{\frac{f_{11}f^2_2}{f_1} - f_{12} f_2 - f_{21} f_2+ f_{22}f_1}{f_2^2} \right] \left[ \frac{1}{f_1 \left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right]}\right]\\[8pt] = -\left[\frac{f_{11}}{f^2_1} - \frac{f_{12}}{f_1f_2} - \frac{f_{21}}{f_1f_2} + \frac{f_{22}}{f_2^2} \right] \left[ \frac{1}{\left[ \frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}\right]}\right].$$

Tomando el recíproco y usando eso $f_{12} = f_{21}$ se deduce que

$$ \sigma = - \frac{\frac{1}{f_2x_2} + \frac{1}{f_1x_1}}{\frac{f_{11}}{f^2_1} - \frac{2f_{12}}{f_1f_2} + \frac{f_{22}}{f_2^2}} ,$$

que es la fórmula que se encuentra, por ejemplo, en Daniel McFadden Funciones de producción de elasticidad constante de sustitución The Review of Economic Studies , Jun., 1963, Vol. 30, No. 2 (Jun., 1963), pp. 73- 83 [Enunciado como ecuación (1)] o en

Knut Sydsæter, Arne Strøm, Peter Berck Manual de matemáticas de los economistas Manual Cuarta edición [se indica en la fórmula 5.21] .

Te dejo que demuestres que esta fórmula es equivalente a la planteada en la pregunta (sin embargo, prefiero ésta porque la forma en que están escritos los índices la hace más fácil de recordar).