Supongamos que tenemos un proceso Ito estándar $dX_{t}=\mu\left(X_{t},t\right)dt+\sigma\left(X_{t},t\right)dW_{t}$ .
Por lo que sé, hay dos enfoques para resolver esto numéricamente: enmarcarlo como una EDP y resolverlo, o simular trayectorias aleatorias utilizando métodos de Monte Carlo, y a partir de ahí calcular el valor de las expectativas que nos darán los precios de los instrumentos financieros. La precisión se escalará entonces como $C/\sqrt{N}$ , donde $N$ es el número de muestras.
Me gustaría conocer las limitaciones de los métodos de Monte Carlo para este tipo de simulaciones, y más concretamente saber si hay problemas en finanzas en los que este tipo de simulaciones sean inviables. Sé que, cuando tenemos muchas dimensiones, el método PDE es inviable, y la única opción es utilizar los métodos de Monte Carlo. También soy consciente de que la tasa de convergencia no es demasiado buena, ya que hay un $\sqrt{N}$ Por lo tanto, podría ser costoso obtener soluciones con alta precisión.
Sin embargo, me gustaría entender cuál es el comportamiento de $C$ . Supongo que depende mucho del problema específico, pero en general, esperaría que $C$ podría depender del tiempo de simulación $t$ o en las dimensiones $d$ . Sin embargo, ¿podemos decir algo sobre el escalado? Por ejemplo, ¿podría haber algún caso en el que $C$ aumenta exponencialmente con $t$ ? Si ese fuera el caso de un problema concreto, sería inviable simularlo con técnicas de Monte-Carlo durante largos periodos de tiempo, ya que el número de muestras necesarias para mantener una determinada precisión también aumentaría exponencialmente con el tiempo. ¿Existen casos en finanzas en los que $C$ ¿escala mal, lo que dificulta la simulación del proceso mediante técnicas de Monte Carlo? Además, ¿conoces alguna referencia donde pueda leer sobre esto?
Muchas gracias.
