Probabilidad del precio de una acción utilizando la volatilidad implícita

Question

He intentado utilizar el hecho de tener una volatilidad implícita, pero no he sido capaz de encontrar una forma viable de calcular la probabilidad, ¿alguna idea? Supongamos que una acción $S_t$ sigue un modelo lognormal y que el 29 de mayo de 2019 el precio de cierre de la acción era $S_0$ era de 61,5 y la volatilidad implícita de las opciones con vencimiento T=0,4 era del 120%. Si suponemos que la rentabilidad anual exigida por los inversores es del 30%, ¿cuál es la probabilidad $P(40\le S_t \le 55)$

Answer 1

Supongo que quieres la probabilidad del mundo real, porque la probabilidad neutra del riesgo no es una probabilidad en el sentido de "probabilidad".

Bajo la medida del mundo real, modelamos la acción bajo el modelo B-S como:

$$X(t)=X(0)+\int^{t}_{0}\mu X(h)dh+\int^{t}_{0}\sigma X(h)dW(h)$$

Si el mercado exige un rendimiento anual del 30%, lo tomaré como la tasa del mundo real $\mu$ . Estrictamente hablando, también deberíamos tomar la volatilidad estimada a partir de una serie temporal histórica si tratamos con la medida del mundo real, pero sólo tomaré su vol implícita aquí para simplificar:

$$X(t)=61.5+\int^{t=0.4}_{0}0.3 X(h)dh+\int^{t=0.4}_{0} 1.2 X(h)dW(h) = \\ = 61.5exp \left( \left[ 0.3 - 0.5* 1.2^2 \right] 0.4 + 1.2 * \sqrt(0.4) Z \right) = \\ = 61.5exp\left( -0.456+0.759Z\right)$$

Por lo tanto:

$$\mathbb{P}\left( 40<X_t<55\right)=\mathbb{P}\left(X_t<55\right)- \mathbb{P}\left( X_t<40\right)$$

Ahora:

$$\mathbb{P}\left(X_t<55\right)=\mathbb{P}\left(61.5exp\left( -0.456+0.759Z\right)<55\right) = \\= \mathbb{P}\left(ln(61.5) +\left( -0.456+0.759Z\right)<ln(55)\right) = \\= \mathbb{P} \left( Z< \frac{ln(\frac{55}{61.5})+0.456)}{0.759} \right) $$

Puede hacer lo mismo para $\mathbb{P}\left( X_t<40\right)$ Si no te gusta el fútbol, calcula tú mismo los números y obtendrás la respuesta.

Nota importante : Lo anterior era sólo para demostrar cómo la probabilidad del mundo real podría calcularse introduciendo números a ciegas en el modelo B-S. Sin embargo, tenga en cuenta que si quiere un real probabilidad de que una acción termine dentro de un rango específico, el marco del modelo B-S no es realmente adecuado para ello. Cada agente del mercado tendrá su visión (bayesiana) del estado del mundo y cada agente del mercado verá las probabilidades de forma diferente. Incluso la elección del modelo que se utilizará para calcular la probabilidad es una elección bayesiana en sí misma. Es un problema realmente interesante, pero es más un problema "existencialista" que "práctico". Los operadores de algo de alta frecuencia tratan de estimar las probabilidades todo el tiempo. Todos utilizan diferentes modelos, diferentes datos de entrada, etc.

Answer 2

Los precios de los activos siguen un camino aleatorio, por lo que asumir probabilidades y predecir los precios de las acciones no es tan preciso. Por ello, los inversores tratan de proyectar la volatilidad en lugar de los precios de los activos (es decir, la volatilidad implícita) utilizando GARCH, EWMA u otros modelos de previsión de la volatilidad.

La cartera óptima consiste en invertir a largo plazo en una cartera globalmente diversificada con un enfoque en estilos de activos no correlacionados (activos de crecimiento, activos reales y activos de cobertura) o clases de activos.

Si usted encuentra una manera de proyectar los precios de los activos, con una precisión algo fuerte. Por favor, hágamelo saber para que podamos crear una empresa de gestión de inversiones. Bromas aparte, le deseo la mejor de las suertes en este asunto y espero sus resultados.

Answer 3

Hay un método muy simple utilizado por los comerciantes reales que se remontan a los años sesenta, se asume como dado o ceteris paribus como es la jerga de la economía, que se utiliza una fórmula de crecimiento exponencial, por ejemplo, decir la volatilidad ya sea histórica o implícita de 0,3 o 30% entonces:

El movimiento esperado es igual a tiempo 30 días / 252 días de negociación = .12 = sqrt(.12) = .364 Entonces volatilidad * tiempo ajustado = .3*.364 = .10 entonces precio exp(.1) = digamos el precio de 10 dólares entonces 10 exp(.10) = entonces el rango del precio es de 1/10 o 10% hacia arriba o hacia abajo en 30 días, dada la suposición de un movimiento de desviación estándar. Se trata de un método sencillo utilizado por los operadores reales en los pozos durante los años sesenta, setenta y ochenta.

Del mismo modo, se puede estimar la probabilidad de que un precio alcance un umbral, ya sea el precio de una acción o el precio de ejercicio de una opción, mediante: ln(precio esperado/ Precio)/ (Volatilidad*cuadrado(tiempo)) ln = logaritmo naperiano ln no log 10 Esto se puede modificar con la fórmula anterior para estimar la probabilidad futura, en lugar de la inmediata. ¿Por qué utilizar la volatilidad implícita? Porque es la estimación de los mercados de la volatilidad futura (movimiento - es decir, el potencial o el riesgo hacia arriba o hacia abajo) a diferencia de la volatilidad histórica que es la variación estadística realizada alrededor de la media.