¿Puede la beta de la cartera neta ser diferente de la suma de las betas larga y corta de la cartera?

Question

La forma en que lo calculo es sumando la beta ponderada de largos y cortos pero vi una tabla en la que no era así por lo que me pregunto si no es la forma correcta.

Answer 1

En realidad se puede demostrar por construcción que la beta de la cartera es la suma ponderada de todas las betas de los subyacentes.

Supongamos que la rentabilidad del índice de referencia y de algún activo $a$ en el momento $t$ se denominan respectivamente $r_{b,t}$ y $r_{a,t}$ entonces la beta de un determinado activo se define por:

$$r_{a,t} = \alpha_a + \beta_a r_{b,t} + \epsilon_{a,t}$$

Supongamos que tiene una cartera de $n$ activos $(a_1, ..., a_i, ..., a_n)$ cada uno con un peso $w_i$ entonces la rentabilidad de la cartera es en el momento $t$ se define como:

$$r_{p,t} = \sum_{i=1}^n w_i r_{a_i,t}$$

Ahora, expresando la rentabilidad de cada activo en términos de su propia beta, se obtiene:

$$ \begin{align} r_{p,t} &= \sum_{i=1}^n w_i r_{a_i,t}\\ &= \sum_{i=1}^n w_i \left( \alpha_{a_i} + \beta_{a_i} r_{b,t} + \epsilon_{a_i,t} \right)\\ &= \underbrace{\sum_{i=1}^n w_i \alpha_{a_i}}_{\alpha_p} + \underbrace{\left(\sum_{i=1}^n w_i \beta_{a_i} \right)}_{\beta_p} r_{b,t} +\sum_{i=1}^n w_i \epsilon_{a_i,t} \end{align} $$

Puede que haya algo en la tabla que se te haya pasado por alto (probablemente los pesos, como ha señalado Alex C) o que esté mal.