Varianza de un spread para opciones sobre spreads

Question

Estaba leyendo el periódico: https://people.umass.edu/nkapadia/docs/Negative_Vega.pdf

En la ecuación $(5)$ está definiendo la varianza de la dispersión como:

$$\sigma_1^2S_1^2 + \sigma_2^2S_2^2 - 2\sigma_1 \sigma_2 S_1 S_2 \rho$$

mientras que yo siempre lo he visto definido como:

$$\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_2\rho$$

Esto es para 2 GBM correlacionados y la propagación es $S_1 - S_2$ .

¿Qué me falta?

Answer 1

Creo que se refiere a la varianza de los cambios instantáneos en la dispersión:

$V \left[ dX \right]=V \left[ dS_1-dS_2 \right]$

Y las variantes individuales (en sentido condicional y local) son:

$V \left[ dS_1 \right]= \sigma_1^2 S_1^2dt$

$V \left[ dS_2 \right]= \sigma_2^2 S_2^2dt$

Y el término de covarianza es, suponiendo que los dos brownianos están correlacionados:

$C\left[ dS_1 , dS_2\right]=\rho \sigma_1 \sigma_2 S_1 S_2dt$

Ahora, si introduces esto en tu fórmula, obtienes la ecuación 5.