Microeconomía: primer teorema fundamental del bienestar

Question

¿Puede alguien decirme por qué la parte (2) de esta prueba tiene alguna relevancia?

(1) Supongamos que $x$ está dominado por Pareto por $y$ . Desde $x_i$ es óptimo para el consumidor $i$ : si $y_i\succ x_i$ entonces $p\cdot y_i > p\cdot x_i$

(2) La no sedimentación local implica incluso

si $y_i\succeq x_i$ entonces $p\cdot y_i\geq p\cdot x_i$

(3) Sumando: $p\cdot\sum y_i > p\cdot\sum x_i= p\cdot w$ , en violación de la viabilidad. ( $w$ = dotación inicial)

Answer 1

La versión más común de la dominación de Pareto dice que una asignación está dominada por Pareto si existe otra asignación factible en la que al menos un agente está mejor y todos los demás están al menos igual de bien. En particular, esta última asignación puede incluir consumidores que estén igual de bien que antes.

De la propia definición de equilibrio competitivo se desprende que (1) se cumple. El hecho de que un consumidor elija el mejor paquete que pueda pagar significa que todo paquete mejor debe ser inasequible y, por tanto, más caro.

Ahora, la suma en (3) no es sólo sobre los agentes que están estrictamente mejor, sino también sobre los que están igualmente bien. Para éstos, sólo se obtiene la desigualdad débil (2) utilizando la nonsación local.

He aquí un ejemplo en el que se viola la no-sedimentación local y en el que un equilibrio competitivo no es pareto-eficiente, mostrando la importancia de la suposición de no-sedimentación local para el primer teorema del bienestar:

Hay dos bienes y dos consumidores. Ambos consumidores tienen la dotación inicial dotación inicial $\omega_1=\omega_2=(1,1)$ . Para el consumidor 1, ambos bienes son sustitutos perfectos; el consumidor 1 quiere la suma de las cantidades de ambos bienes que consumen sea lo más grande posible. Al consumidor 2, no le no le importa lo que obtenga, es indiferente entre todos los paquetes de consumo. paquetes de consumo. Se puede comprobar que existe un equilibrio competitivo en el que ambos consumidores simplemente reciben su dotación y ambos bienes tienen el mismo precio, $p_1=p_2>0$ . Pero la única asignación Pareto-eficiente da todo al consumidor 1, que recibe el paquete $(2,2)$ y el consumidor 2 el paquete $(0,0)$ . Cada asignación que que domina a la asignación de equilibrio propuesta tiene al consumidor 1 que está en mejor situación y, por tanto, recibe un paquete más caro (para precios de equilibrio), pero el consumidor 2 recibe un paquete más barato que sigue siendo tan bueno como antes.

También existe una noción débil de la eficiencia de Pareto: Una asignación es débilmente pareto-eficiente si no hay ninguna asignación factible en la que todos estén estrictamente mejor. Se puede demostrar que todo equilibrio competitivo es débilmente pre-eficiente incluso sin no-satio local: Si todo el mundo está mejor, (1) implica que todos reciben un paquete más caro y entonces podemos pasar directamente a (3).

Answer 2

La no saciedad local significa que siempre se quiere un poco más. No hay puntos dulces en los que uno esté satisfecho y no acepte más de $x_i$ .

Lo que esto significa en la práctica es que si usted está optimizando su asignación de bienes $x_i$ agotará todos sus recursos ( $w$ ).

Si no tiene (2), es posible que su paquete óptimo incluya alguna combinación de $x_i$ y $w$ .

Con (2), su paquete óptimo sólo contendrá $x_i$ .