Antecedentes: de un curso de Microeconomía,
$F$ es un cdf. En otras palabras, si $F$ tiene una función de densidad $f$ entonces $$F(z)={\int_{-\infty}^z f(x) dx} $$
Escribe la función de utilidad Bernoulli $u: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$ de manera que la preferencia esté representada por
$$U(F) = \int u(z) dF(z)$$Si $F$ tiene densidad $f$ entonces $U(F) = \int u(z) f(z)dz$
No estoy familiarizado con la notación $dF(z)$ y no entiendo muy bien qué significa esto. ¿Puede alguien ayudarme?
No todas las fdc tienen una función de densidad, (por ejemplo si $F$ no es diferenciable). Sin embargo, cuando tienen una densidad, la notación $dF(z)$ equivale a $f(z)dz$ . Al realizar integrales. Sin embargo, aunque la densidad no exista, se puede escribir la expectativa utilizando la notación $dF(z)$ . Los detalles de lo que realmente significa y las sutiles diferencias se pueden aprender en cualquier curso de teoría de la medida. Pero espero que esta breve explicación te ayude a no asustarte cada vez que veas esa notación.
Esta notación también permite abarcar el caso de variables aleatorias discretas, en cuyo caso $$U(F) = \int u(z) dF(z)=\sum_k u(z_k) p(z_k) $$
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