En mi opinión, la "definición" que mencionas no es una definición matemática por sí mismo sino una aproximación utilizada por algunos profesionales.
Matemáticamente, es $N(d_2)$ en la fórmula BS, que calcula la probabilidad condicional de que el precio terminal del activo $S_T$ terminará por encima del nivel de huelga $X$ dada la información que poseemos hoy en día (representada por $S_t$ ), y que, bajo una medida neutral de riesgo que utiliza la cuenta del mercado monetario sin riesgo como numéraire. Omitiendo el descuento, $N(d_2)$ es efectivamente el precio de una opción binaria o digital asumiendo GBM.
Por otro lado, el delta (omitiendo el pago de dividendos) viene dado por $N(d_1)$ no $N(d_2)$ . Sólo en el caso de plazos de vencimiento extremadamente cortos o de baja volatilidad se puede $d_1$ se aproxima por $d_2$ y por lo tanto $\Delta$ se aproxima por $N(d_2)$ (de nuevo asumiendo que no hay divs).
Sin embargo, también podríamos decir que $\Delta$ corresponde a una probabilidad de terminar en el dinero, pero en una medida de martingala equivalente que utiliza el propio activo como numéraire .
Por lo tanto, depende de la medida de probabilidad con la que se trabaje/interprete los resultados. En el ámbito de la venta nos gusta pensar en términos de probabilidades neutrales al riesgo (u opciones binarias).
Véase la definición de $d_1$ y $d_2$ aquí por ejemplo.
