¿Para qué opciones se aplica la "regla de cobertura delta"?

Question

Estoy leyendo el libro de Shreve Cálculo estocástico para las finanzas, volumen II . En el capítulo 4, deduce la "regla de cobertura delta":

$$\Delta(t) = c_x(t, S(t)) \text{ for all } t \in [0, T)\text{.}\tag{1}$$

Esto dice que una cartera de autofinanciación $X(t)$ que necesita replicar una opción con precio aleatorio $c(t, S(t))$ en el momento $t$ ,

$$X(t) = c(t, S(t))\text{,}\tag{2}$$

necesita mucho tiempo $c_x(t, S(t))$ del activo subyacente, suponiendo que el valor del activo sigue una distribución log-normal.

Esto me parece una solución muy general al problema de la cobertura que se aplica a muchas clases de opciones exóticas.

Sin embargo, en el capítulo 5, Shreve requiere el teorema de representación de Martingale para calcular $\Delta(t)$ . En la página 223, se nos da

$$\Delta(t)=\frac{\tilde{\Gamma}}{\sigma(t)D(t)S(t)},\ \ 0 \leq t \leq T\text{.}\tag{3}$$

Sobre esta fórmula, dice

El argumento del Teorema de la Representación de Martingala de esta sección justifica la fórmula de fijación de precios neutral al riesgo (5.2.30) y (5.2.31), pero no proporciona un método práctico para encontrar la cartera de cobertura cartera de cobertura $\Delta(t)$ . La fórmula final [(3)] para $\Delta(t)$ implica el integrando $\tilde{\Gamma}(t)$ en la representación martingala (5.3.4) del precio del valor derivado descontado. Mientras que el Teorema de la Representación de Martingala garantiza que dicho proceso $\tilde{\Gamma}$ existe y por lo tanto una cobertura $\Delta(t)$ existe, no proporciona un método para encontrar $\tilde{\Gamma}(t)$ . En volveremos a tratar este punto en el capítulo 6.

Este párrafo me pareció confuso porque no parece reconocer que el autor ya ha encontrado tal $\Delta(t)$ en (1). He intentado leer hasta el capítulo 6, pero no he podido encontrar la respuesta a esta pregunta:

¿Para qué tipo de opciones debería una cartera de réplica larga/corta $\Delta(t)$ del subyacente según $(1)$ ? ¿Para qué tipo de opciones es "incorrecta" esta cobertura?

Algunos ejemplos: (1) obviamente se aplica a las opciones europeas con volatilidad y tasa de rendimiento fijas. ¿Y si su modelo asume una volatilidad variable? ¿Qué pasa con las opciones americanas?

Answer 1

El párrafo del capítulo 5.5.2 (Cobertura con una acción) que incluye (3) no no suponer que el valor de la retribución en cualquier $t$ es markoviano, es decir, es una función de $S(t)$ sólo por lo que no hay que utilizar ningún "delta" como en (1).

El resumen 6.7 tiene la respuesta a lo que Shreve quiere decir sobre la fórmula (3) (en particular los tres párrafos que he resaltado; nótese que Shreve define y trabaja con una EDS de difusión de Markov como subyacente).

6.7 Resumen

Cuando el precio subyacente de un activo viene dado por una ecuación diferencial estocástica, el precio del activo es Markov y el precio de cualquier valor derivado no dependiente de la trayectoria basado en ese activo viene dado por una ecuación diferencial parcial. Para fijar el precio de los valores dependientes de la trayectoria, primero se busca determinar las variables de las que depende la remuneración dependiente de la trayectoria y luego introducir una o más ecuaciones diferenciales estocásticas adicionales con el fin de disponer de un sistema de ecuaciones que describa las variables relevantes. Si se puede hacer esto, entonces de nuevo el precio del derivado viene dado por una ecuación diferencial parcial. Este Esto nos lleva al siguiente procedimiento de cuatro pasos para encontrar la ecuación diferencial diferencial de precios y para construir una cobertura para un valor derivado. derivado.

1. Determine las variables de las que depende el precio del valor derivado de la que depende el precio del valor derivado. Además del tiempo t, son el precio del activo subyacente subyacente S(t) y posiblemente otros procesos estocásticos. Llamamos a estos procesos estocásticos los llamamos procesos de estado. Hay que ser capaz de representar el pago del valor derivado en términos de estos procesos de estado. estado.

2. Escriba un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas para los procesos de estado. Asegúrese de que, salvo los movimientos brownianos impulsores los únicos procesos aleatorios que aparecen en los lados derechos de estas ecuaciones son los propios procesos de estado. Esto garantiza que el vector de procesos de estado es Markov.

3. La propiedad de Markov garantiza que el precio del valor derivado en cada momento es una función del tiempo y de los procesos de estado en ese tiempo. El precio descontado de la opción es una martingala bajo la medida neutra de riesgo. Calcule el diferencial del precio de la opción descontada precio de la opción descontado, fijar el término dt igual a cero, y obtener así una ecuación diferencial parcial.

4. Los términos que multiplican los diferenciales del movimiento browniano en el diferencial del precio de los valores derivados descontados deben coincidir con los términos que multiplican los diferenciales del movimiento browniano en la evolución del valor de la cartera de cobertura; véase (5.4.27). El emparejamiento de estos términos determina la cobertura para una posición corta en el valor derivado.