Observando que $$ B= V -\alpha S = V - (\alpha S)^+ + (\alpha S)^- $$ $$ = (V - (\alpha S)^+)^+ - (V - (\alpha S)^+)^- + (\alpha S)^-,$$ una forma más clara de escribir la dinámica del costes de financiación (cuenta de financiación por cuenta de financiación, la de préstamo, la de préstamo y la que financia al tipo de interés de préstamo corregido por las tasas de préstamo de valores) es:
$$dB = r^l (V - (\alpha S)^+)^+ dt - r^b (V-(\alpha S)^+)^- dt + (r^l - r^f) (\alpha S)^-dt , $$
donde $$ x^+ = x\cdot 1_{x\geq 0}, \: \: \: x^- = -x\cdot 1_{x< 0}, \: \: \: x=x^+ - x^-.$$
( $S$ se supone positiva en todas partes. Todos los procesos de financiación $F$ se suponen de la forma $dF = rF dt$ .)
A continuación, podemos demostrar que esto es coherente con las conclusiones del documento, expresadas en términos de la función $\rho$ ,
$$\rho(x) = r^l\cdot 1_{x\geq 0} + r^b \cdot 1_{x<0}.$$
De hecho, si $\alpha \geq 0$ entonces
$$ dB = r^l (V-\alpha S)^+ dt - r^b(V- \alpha S)^- dt $$ $$= \rho(V - \alpha S)(V - \alpha S) dt.$$
Si $\alpha < 0$ entonces
$$ dB = r^l V^+dt - r^b V^- dt - (r^l-r^f)\alpha S dt $$ $$= (\rho(V)V - (r^l-r^f)\alpha S)dt.$$
En cuanto a su segunda pregunta (que está relacionada con la primera), Bielecki y Rutkowski crearon un "modelo sin arbitraje", proponiendo una ampliación esencial de la definición clásica, y " y ellos " proporcionar condiciones suficientes para la propiedad de no arbitraje de un modelo de mercado bajo supuestos alternativos de negociación y compensación " en su documento Valoración y cobertura de los contratos con costes de financiación y de colateralización .
