Derivación de la probabilidad neutra de riesgo de un solo periodo

Question

Dejemos que $S_u$ sea el precio de las acciones en el estado superior dentro de un período. Sea $S_d$ sea el precio de la acción en el estado de baja.

Dejemos que $C_u$ sea el pago de una opción de compra en el momento $1$ en el estado ascendente y de forma similar para $C_d$ .

Si definimos $\delta = \frac{C_u-C_d}{S_u-S_d}$ Entonces, si compramos $\delta$ acciones en el momento cero y pedir prestado $e^{-r}(\delta S_u - C_u) = e^{-r}(\delta S_d - C_d)$ Esta cartera replica el pago de la opción de compra.

Así que en la iniciación debemos tener $C(0) = \delta S - e^{-r}(\delta S_u - C_u)$ .

sustituyendo a $\delta$ puede conseguirnos

$$ C = \frac{S-e^{-r}S_d}{S_u-S_d}C_u + \frac{e^{-r}S_u - S}{S_u-S_d}C_d$$

ahora el autor afirma en el libro que estoy leyendo que un "poco de álgebra" implica rápidamente

$$S = \frac{S-e^{-r}S_d}{S_u-S_d} S_u + \frac{e^{-r}S_u - S}{S_u-S_d} S_d$$ y

$$1 = \frac{S-e^{-r}S_d}{S_u-S_d} e^r + \frac{e^{-r}S_u - S}{S_u-S_d} e^r$$

Ahora he estado mirando estas dos últimas ecuaciones durante más de una hora y no puedo por la vida de mí ver cómo algebraicamente llegar a ellos. ¿Puede alguien ayudarme?

Lo anterior viene de la página 12 de "a course in derivative securities" de Kerry Back...al comentario de abajo, estoy de acuerdo, parece una contradicción pero quizás me estoy perdiendo algo.

Answer 1

Creo que el autor sólo está diciendo que

\begin {Ecuación} \begin {split} \frac {S - e^{-r}S_d}{S_u - S_d} S_u + \frac {e^{-r}S_u - S}{S_u - S_d} S_d &= \frac {S S_u - e^{-r}S_d S_u + e^{-r}S_uS_d - SS_d}{S_u - S_d} \\ &= \frac {S (S_u - S_d)}{S_u - S_d} \\ &= S \end {split} \end {Ecuación}

y que

\begin {Ecuación} \begin {split} \frac {S - e^{-r}S_d}{S_u - S_d} e^r + \frac {e^{-r}S_u - S}{S_u - S_d} e^r &= \frac {S e^r - S_d + S_u - S e^r}{S_u - S_d} \\ &= \frac {S_u - S_d}{S_u - S_d} \\ &= 1 \end {split} \end {Ecuación}