Dejemos que $\varepsilon>1$ y que $$C_t\equiv\left(\int_0^1C_t(i)^{(\varepsilon-1)/\varepsilon} \, di\right)^{\varepsilon/(\varepsilon-1)}$$ denotan una cesta de consumo en el periodo de tiempo $t$ , donde $C_t(i)$ es el consumo del bien $i\in [0,1]$ . En los nuevos modelos keynesianos, por ejemplo, queremos diferenciar $C_t$ con respecto a $C_t(i)$ para algunos $i\in [0,1]$ para resolver un problema de optimización de la utilidad. En mis notas de clase, y en muchos textos sobre este tema, se dice que $$\frac{\partial C_t}{\partial C_t(i)} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon-1} C_t^{1/\varepsilon} \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} C_t(i)^{-1/\varepsilon}.$$ ¿Alguien sabe cómo se consigue esta diferenciación? Esta es la pregunta que quiero que se responda. A continuación expondré cómo he pensado en esta cuestión.
Soy propenso a pensar que está mal. Para utilizar la regla de la cadena yo diría que la respuesta es la siguiente. $$\frac{\partial C_t}{\partial C_t(i)} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon-1} C_t^{1/\varepsilon} \left(\frac{\partial}{\partial C_t(i)} \int_0^1C_t(i)^{(\varepsilon-1)/\varepsilon} \, di\right),$$ que, al suponer que la función es tal que podemos diferenciar bajo el signo integral, obtengo $$\frac{\partial C_t}{\partial C_t(i)} = \frac\varepsilon {\varepsilon-1} C_t^{1/\varepsilon} \left(\int_0^1 \frac{\varepsilon-1} \varepsilon C_t(i)^{-1/\varepsilon} \, di\right).$$ Ahora, utilizando el teorema del valor medio de las integrales se podría decir que $$\int_0^1 C_t(i)^{-1/\varepsilon} \, di = C_t(j)^{-1/\varepsilon}(1-0)$$ para algunos $j\in (0,1)$ e insertar este resultado arriba y entonces obtener un resultado similar a lo que se mostró en mis notas de clase. Sin embargo, esto nos llevaría a considerar otra buena $j$ no es necesariamente igual a bueno $i$ .
El lector puede pensar que estoy confundiendo el símbolo ' $i$ en la integral, por el mismo símbolo utilizado al diferenciar con respecto a $C_t(i)$ y que debería, a la hora de diferenciar, considerar un buen $i_0$ y luego realizar la siguiente diferenciación: $$\frac{\partial C_t}{\partial C_t(i_0)} = \frac{\partial }{\partial C_t(i_0)} \left(\int_0^1 C_t(i)^{(\varepsilon-1)/\varepsilon} \, di\right)^{\varepsilon/(\varepsilon-1)}.$$ Esto puede ser así, pero no sé cómo obtener el resultado deseado de esto, y si tomo este enfoque, diría que la derivada es igual a $0$ (!) ya que la integral es sólo una constante real si $t$ es fijo, que lo es.
A veces se dice que podemos diferenciar la integral que acabamos de mencionar considerando la integral como una suma. No sé qué quieren decir con esto. Quizá representen la integral como el límite de una suma de Riemann, que lo es, y escriban $$\frac{\partial }{\partial C_t(i_0)} \int_0^1 C_t(i)^{(\varepsilon-1/\varepsilon} \, di = \frac{\partial }{\partial C_t(i_0)} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n C_t(\xi_k)^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}(i_k-i_{k-1}),$$ con $i_0=0<i_1<\cdots < i_{n-1}<i_n=1$ y $i_{k-1}\leq\xi_k\leq i_k$ para cada $k=1,2\ldots,n$ . Cuando los autores escriben que debemos considerar la integral como una suma, debe ser así. Pero al diferenciar esta suma con respecto a $C_t(i_0)$ sería en los mejores casos (es decir, cuando podemos hacer la diferenciación dentro del límite) igual a $\lim_{n\to\infty}\frac{\varepsilon-1} \varepsilon C_t(i_0)^{1/(\varepsilon-1)} \cdot (i_\alpha - i_{\alpha-1})$ para algunos $\alpha\in\{1,2,\ldots,n\}$ tal que $i_{\alpha-1}\leq i_0\leq i_\alpha$ el problema ahora es que $\lim_{n\to\infty}\frac{\varepsilon-1} \varepsilon C_t(i_0)^{-1/\varepsilon}\cdot (i_\alpha - i_{\alpha-1})=0$ que es consistente con el análisis real avanzado moderno (hasta donde yo sé) en el sentido de que si simplemente aumentamos o disminuimos el valor de $C_t(i)$ en una $i=i_0$ entonces el valor de la integral no cambiará, y por lo tanto la derivada debe ser $0$ (es decir, no hay cambio en el valor de la integral para un cambio en $C_t(i_0)$ ).
Nota: Estos problemas se producen al estudiar, por ejemplo, el llamado "agregador de Dixit-Stiglitz".
