Alguien tiene una explicación detallada sobre cómo utilizar las preferencias de Epstein-Zin en los modelos de valoración de activos

Question

Me interesaría saber cómo se utilizan las preferencias de Epstein-Zin en, por ejemplo, los modelos de valoración de activos basados en el consumo. Estoy buscando derivaciones específicas (cómo se obtiene el SDF) y posibles métodos numéricos para resolverlo. Por ejemplo, ¿se linealiza el modelo de forma logarítmica? O si voy por una iteración en la función de valor, ¿cómo jugaría con la utilidad recursiva? ¿Es típico hacer algo más? ¿Y cómo se calibra o estima eso?

En resumen, es una guía completa para principiantes que me gustaría conseguir.

Answer 1

Utilidad recursiva

El enfoque tradicional de la fijación del precio de los activos basado en el consumo incluye utilidad esperada separable en el tiempo (aditiva) funciones, $$U(C_t,C_{t+1})=u(C_t)+\beta \mathbb{E}_t[u(C_{t+1})],$$ donde $\beta<1$ mide la impaciencia (factor de descuento subjetivo). Es la primera ecuación del capítulo 1.1. en la estelada de Cochrane libro de precios de los activos . Obviamente, el resultado es el SDF estándar $$M_{t,t+1}=\beta\frac{u'(C_{t+1})}{u'(C_t)},$$ o en el caso de una empresa de electricidad simple, $u(C_t)=C_t^{1-\gamma}$ , $$M_{t,t+1}=\beta\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\gamma},$$ donde $\gamma\geq0$ mide la aversión al riesgo del inversor (concavidad de la función de utilidad).

Epstein y Zin (1989, Ecta) utilidad recursiva en cambio, define que la utilidad actual es $$U_t=\left((1-\beta)C_t^\alpha + \beta \mathbb{E}_t\left[U_{t+1}^{1-\gamma}\right]^\frac{\alpha}{1-\gamma}\right)^{\frac{1}{\alpha}},$$ donde $\beta<1$ es el factor de descuento subjetivo, $\gamma\geq0$ el coeficiente de aversión al riesgo y $\Psi=\frac{1}{1-\alpha}\geq0$ es la elasticidad de sustitución intertemporal (EIS). Obsérvese que la utilidad aditiva en el tiempo es un caso especial con $\alpha=1-\gamma$ y $\Psi=\frac{1}{\gamma}$ . Las funciones de utilidad recursivas son más generales que la parametrización anterior, pero ésta es posiblemente la más común. Philippe Weil contribuyó en gran medida al estudio de la utilidad recursiva.

Los agentes tienen una clara aversión al riesgo (no les gusta la variación entre los distintos estados) y prefieren claramente una resolución temprana de la incertidumbre. Sin embargo, el EIS y la aversión al riesgo están inversamente relacionados a través de $\Psi=\frac{1}{\gamma}$ para funciones de utilidad esperada aditiva en el tiempo estándar que es contrafactual. Esa es una de las razones por las que estos modelos tienen dificultades para generar una prima de equidad razonable. Las funciones de utilidad recursivas, en cambio, no tienen ningún problema para separar la aversión al riesgo y la EIS.

Valoración de activos con utilidad recursiva

La FDS para la función de utilidad anterior es $$ M_{t,t+1} = \beta^\theta \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\frac{\theta}{\Psi}} \left(R_{t+1}^W\right)^{\theta-1},$$ donde $\theta=\frac{1-\gamma}{1-\frac{1}{\Psi}}$ y $R_{t+1}^W$ es el rendimiento bruto de la cartera de riqueza (que paga el consumo agregado en forma de dividendos), que es, por supuesto, diferente del rendimiento observable del mercado. Una derivación se encuentra en el capítulo 6.4.4 de la gran obra de Munk Libro sobre el precio de los activos financieros y, por supuesto, en Epstein y Zin (1989) .

Los dos SDF para la utilidad recursiva y la utilidad de energía no parecen muy diferentes. De nuevo, son idénticos si $\theta=1$ (y por lo tanto $\gamma\Psi=1$ ). Esencialmente, todos los modelos avanzados basados en el consumo escriben $$M_{t,t+1} = \beta\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\gamma} Y_t,$$ donde la variable $Y_t$ de alguna manera hace que el FAD sea más volátil al capturar diferentes tipos de riesgo. Esto se aplica a los modelos de riesgo a largo plazo, a la formación de hábitos, a las catástrofes raras, etc. Abordan el rompecabezas de la prima de la renta variable desde Mehra y Prescott (1985, JME) y el límite de Hansen y Jagannathan (1991, JPE) . Cochrane (2017, RF) ofrece un gran resumen de esta literatura.

Evidentemente, la ecuación de Euler estándar también se aplica a los modelos con utilidad recursiva y podemos fijar el precio de los activos observando $$\mathbb{E}_t\left[M_{t,t+1}R_{t+1}\right]=\mathbb{E}_t\left[\beta^\theta \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\frac{\theta}{\Psi}} \left(R_{t+1}^W\right)^{\theta-1}R_{i,t+1}\right]=1,$$ o más convenientemente, $$\beta^\theta\mathbb{E}_t\left[\exp\left(-\frac{\theta}{\Psi}\Delta c_{t+1} +(\theta-1) r_{t+1}^W +r_{i,t+1}\right)\right]=1,$$ donde $\Delta c_{t+1}=\ln\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)$ , $r^W_{t+1}=\ln(R^W_{t+1})$ y $r_{i,t+1}=\ln(R_{i,t+1})$ .

Riesgo a largo plazo y linealización logarítmica

Como sugiere @fesman en los comentarios, un modelo estándar de utilidad recursiva es Bansal y Yaron (2004, JF) modelo seminal de riesgo a largo plazo. Dicho esto, la utilidad recursiva se utiliza hoy en día en muchos modelos. Por ejemplo, Chen (2016, JFE) se centra principalmente en el lado de la producción y sigue incluyendo la utilidad recursiva para los hogares en su modelo. Mi elección aquí es completamente aleatoria, el documento de Chen es simplemente el que está más arriba en mi escritorio. Sólo quiero ilustrar que la utilidad recursiva es común hoy en día].

No voy a resolver aquí todo el modelo de 2004, sino a dar una visión general de lo que ocurre. Siguiendo Campbell y Shiller (1988, RFS) conjeturamos una forma log-lineal $$\ln R_{t+1}^W \approx \kappa_0+\kappa_1z_{t+1}-z_t+\Delta c_{t+1},$$ donde $z_t=\ln(P_t)-\ln(C_t)$ es la relación precio-consumo logarítmica, $\kappa_0,\kappa_1$ constantes. Esa es la ecuación 2 en BY 2004. La ecuación de Euler se convierte en $$\beta^\theta\mathbb{E}_t\left[\exp\left(-\frac{\theta}{\Psi}\Delta c_{t+1} +(\theta-1) \left(\kappa_0+\kappa_1z_{t+1}-z_t+\Delta c_{t+1}\right) +r_{i,t+1}\right)\right]=1.$$ Eso es genial hasta ahora porque el modelo de Bansal y Yaron nos dice la dinámica de $\Delta c_{t+1}$ . A continuación conjeturamos que $z_t$ también es lineal, es decir $$z_t\approx A_0+A_1x_t+A_2\sigma_t^2,$$ donde $x_t$ y $\sigma_t^2$ son otras dos variables de estado con una dinámica determinada en el modelo. De hecho, $x_t$ es el componente de riesgo a largo plazo y $\sigma_t^2$ la volatilidad condicional del crecimiento del consumo logarítmico. Véase la ecuación (8) en su documento para la descripción del modelo. Como todo se reduce a distribuciones log-normales, se puede calcular la expectativa en la ecuación de Euler: tomar las variables ya conocidas $x_t$ y $\sigma_t^2$ fuera de la expectativa condicional y utilizar $\mathbb{E}[e^{m+sZ}]=e^{m+0.5s^2}$ para $Z\sim N(0,1)$ para el resto. El apéndice del documento de Bansal y Yaron contiene todos los detalles. Munk también presenta la solución en su libro. A continuación se pueden obtener expresiones para $A_0$ etc. en función de los parámetros del modelo.

Un documento reciente sobre la Log-Linearización

Pohl, Schmedders y Wilms (2018, JF) muestran que la log-linealización, que es esencialmente un polinomio de Taylor de primer orden, puede dar lugar a soluciones muy erróneas al despreciar los términos de orden superior. Siguiendo otros trabajos, sugieren en cambio métodos numéricos más robustos que utilizan, por ejemplo, polinomios bidimensionales de Chebyshev en $x_t$ y $\sigma_t^2$ .