Dos preguntas de probabilidad del libro de entrevistas de finanzas cuantitativas.

Question

Publicé las dos preguntas en el intercambio de matemáticas hace un mes, pero no puedo obtener una respuesta, así que las publico aquí y aprecio sus consejos :)

Estoy leyendo un libro de entrevistas llamado Una Guía Práctica para la Entrevista de Finanzas Cuantitativas / Capítulo 4 Teoría de la Probabilidad. Así que hago las siguientes preguntas (He resaltado mis dudas en negrita) en esta Sección de Matemáticas:

1. Suponga que $X_1, X_2, ...$ y $X_n$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución uniforme entre 0 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de que $S_n = X_1 + X_2 +....+X_n\leq 1$?

Solución a la pregunta 1: Cuando $n = 1, P(S_1\leq1)$ es 1. Como se muestra en la Figura 4.6 cuando $n=2$, la probabilidad de que $X_1+X_2\leq1$ es simplemente el área bajo $X1+X2\leq1$ dentro del cuadrado con lado longitud 1 (un triángulo). Así que $P(S_2\leq1) = 1/2$. Cuando $n=3$, la probabilidad se convierte en el tetraedro ABCD bajo el plano $X_1+X_2+X_3\leq1$ dentro del cubo con lado longitud 1. El volumen del tetraedro ABCD es $1/6$ Así que $P(S_3\leq1) = 1/6$ Ahora podemos suponer que la solución es $1/n!$ Para demostrarlo, recurramos a la inducción. Supongamos que $P(S_n\leq1) = 1/n!$. Necesitamos demostrar que $P(S_{n+1}\leq1) = 1/(n+1)!$. Aquí podemos usar la probabilidad por condicionamiento. Condicionado al valor de $X_{n+1}$, tenemos $P(S_{n+1}\leq1) = \int_0^1f(X_{n+1}))P(S_n\leq1-X_{n+1})dX_{n+1}$, donde $f(X_{n+1})$ es la función de densidad de probabilidad de $X_{n+1}$, por lo que $f(X_{n+1})=1$. Pero ¿cómo calculamos $P(S_n\leq1-X_{n+1})$? Los casos de $n=2,n=3$ nos han proporcionado alguna pista. Para $S_n\leq1-X_{n+1}$ en lugar de $S_n\leq1$, básicamente necesitamos reducir cada dimensión del símplice n-dimensional de 1 a $1-X_{n+1}$. Así que su volumen debería ser $(1-X_{n+1})^n/n!$ en lugar de $1/n!$. Así que mi duda es: ¿No entiendo por qué reducir cada dimensión del símplice n-dimensional de 1 a $1-X_{n+1}$ da como resultado $(1-X_{n+1})^n/n!$? ¿Cuál es el razonamiento detrás de esto?

2. Sea $X_1$ y $X_2$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución uniforme entre 0 y 1, $Y = min(X_1,X_2), Z = max(X_1,X_2)$. ¿Cuál es la función de distribución acumulativa de $YZ$:

Solución a la pregunta 2: cuando $0\leq z\leq1, 0\leq y\leq z$, $F(y,z)$ es el área sombreada en la Figura 4.7 No sé por qué el área sombreada en la captura de pantalla? representa $F(y,z)$

Answer 1

En tu libro, demuestran que $\mathbb{P}(S_n \leq a)=\frac{a^n}{n!}$ con $0 \leq a \leq 1$, y $a=1$ es el caso particular.

$n=0$ es trivial. Por inducción, asumimos que $\mathbb{P}(S_n \leq y)=\frac{y^n}{n!}$ $ \forall y \in [0,1]$

Sea $a \in [0,1]$, calculamos $\mathbb{P}(S_{n+1} \leq a)$. Usamos la independencia entre $S_n$ y $X_{n+1}$ :

$$\mathbb{P}(S_{n+1} \leq a)=\mathbb{P}(S_{n}+X_{n+1} \leq a)=\int_{0}^{1}P(S_n+x \leq a)dx$$

Observa que $$\int_{0}^{1}P(S_n+x \leq a)dx=\int_{0}^{a}P(S_n+x \leq a)dx+\int_{a}^{1}P(S_n+x \leq a)dx$$

$S_n$ es casi seguramente positivo, por lo tanto $$\int_{a}^{1}P(S_n+x \leq a)dx=0$$

si $0 \leq x \leq a$, tenemos $0 \leq a-x \leq 1 $

$$\int_{0}^{a}P(S_n+x \leq a)dx=\int_{0}^{a}P(S_n \leq a-x)dx=\int_{0}^{a}\frac{(a-x)^n}{n!}dx=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}$$

En cuanto a la pregunta 2, conocemos la distribución conjunta de $(X_1,X_2)$, que está dada por la función de densidad $f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=1_{x_1 \in ]0,1[}1_{x_2 \in ]0,1[}$

$$F(y,z)=P(Y \leq y, Z \leq z)=P(\min(X_1,X_2) \leq y, \max(X_1,X_2) \leq z)=\int_{\{(x_1,x_2)\in ]0,1[^2 :min(x_1,x_2) \leq y, max(x_1,x_2) \leq z \}}{dx_1dx_2}$$

El número $\int_{\{(x_1,x_2)\in ]0,1[^2 :min(x_1,x_2) \leq y, max(x_1,x_2) \leq z \}}{dx_1dx_2}$ es el área de $\{(x_1,x_2)\in ]0,1[^2 :min(x_1,x_2) \leq y, max(x_1,x_2) \leq z \}$, que es el área sombreada.