¿GBM en R dando números negativos?

Question

Tenía la impresión de que las simulaciones que implican un movimiento browniano geométrico no deben arrojar números negativos. Sin embargo, estaba probando la siguiente simulación de Monte Carlo en R para un GBM, donde mi precio inicial del activo es: $98.78$ , $\mu = 0.208$ , $\sigma = 0.824$ . He inicializado mi marco de datos como tal: (Sólo estoy haciendo 1000 simulaciones durante 5 años, simulando el precio cada año)

V = matrix(0, nrow = 1000, ncol = 6)
V_df = data.frame(V)

Entonces:

V[, 1] <- 98.78

A continuación, realizo las simulaciones (con $dt = 1$ ):

for (i in 1:1000) {
        for (j in 1:5) {
            V_df[i,j+1] <- V_df[i,j]*(mu*dt + sigma*sqrt(dt)*rnorm(1)) + V_df[i,j]
        }
    }    

Cuando luego compruebo $V_{df}$ hay muchas entradas negativas. ¿Alguien tiene una idea de por qué esto es así?

Gracias.

Answer 1

Con un paso de tiempo tan grande (anual), sería mucho mejor utilizar la solución exacta del GBM en lugar de discretizar lo que técnicamente sólo es válido en un sentido infinitesimal.

Por lo tanto, utilizarías $V_{t_2} = V_{t_1} . e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})(t_2-t_1)+\sigma(W_{t_2}-W_{t_1})}$

Dónde $W_{t_2}-W_{t_1} \sim N(mean=0,var=t_2-t_1)$

En ese caso, sólo tendrías valores positivos.

La desventaja es que la exponencial tarda un poco más en calcularse, pero supongo que eso es una preocupación secundaria en este caso.