Cómo simular numéricamente la integral estocástica exponencial

Question

Por ejemplo, dada una integral

$$ \int^t_0 \exp(aW(t'))\,dt', t\in\mathbb R_+ $$ donde $W(t')$ es un proceso Wiener estándar.

He estado muy confundido acerca de las integrales estocásticas como $\int^t_0 W(t')\,dt'$ por ejemplo, aquí Integral del movimiento browniano con respecto al tiempo

Mi pregunta es cómo simular numéricamente esta integral (es decir, simular trayectorias con evolución del tiempo)

Answer 1

haciendo uso de esta fórmula :

$$ y(t_{k+1}) = y({t_k}) + \int^{t_{k+1}}_{t_k} y(t) dt $$

Definamos $F$ como: $$ F(t)=\int^t_0 \exp(aW(t'))\,dt', \forall t\in\mathbb R_+\\ dF(t)=\exp(aW(t))dt $$

1. Elija un pequeño $\Delta t$ .
2. Simular $\Delta W\sim \mathcal N(0,\Delta t)$
3. Calcular $W(t+\Delta t)=W(t) + \Delta W$
4. Calcular $F(t+\Delta t)=F(t)+ \exp(aW(t))\Delta t $
5. Repite 2, 3 y 4 tantas veces como quieras.

Answer 2

La solución de @ThomasG se implementa en python (con más o menos cuidado con el índice cero) como:

import numpy as np

dt = 1e-2; j = 10; a = 1

dW = np.random.randn(j+1); dW[0] = 0
W = np.cumsum(dW)
F = np.cumsum(np.exp(a * W) * dt)