Covarianza entre la integral del movimiento browniano y el movimiento browniano

Question

Dejemos que

$$ I = \int_0^1W_tdt, $$

donde $W_t$ es un movimiento browniano. En Integral del movimiento browniano con respecto al tiempo tenemos que

$$ \mathbb{E}[I]=0, $$ por el teorema de Fubini. Y que $$ \mathbb{V}\text{ar}[I] = \mathbb{E}[I^2] = \mathbb{E}\left[\int_0^1\int_0^1W_sW_tdsdt\right] = \int_0^1\int_0^1\mathbb{E}[W_sW_t]dsdt = \frac{1}{3}. $$ Aquí no entiendo cómo somos capaces de llevar la expectativa a la integral, la isometría de Ito dice que $$ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^tX_sdW_s\right)^2\right] = \int_0^t\mathbb{E}[X_s^2]ds $$ por lo que no estoy seguro de cómo es posible utilizar esto aquí?

Además, estoy obligado a encontrar $$ \mathbb{C}\text{ov}[I, W_1], $$

Sé que $$ \mathbb{C}\text{ov}[I, W_1] = \mathbb{E}[IW_1], $$ desde $\mathbb{E}[I] = \mathbb{E}[W_1] = 0$ , mi mejor suposición aquí es entonces que $$ \mathbb{E}[IW_1] = \min\left(\frac{1}{3},1\right) = \frac{1}{3}, $$ sin embargo, esto es probablemente erróneo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para el primero pregunta, igualdad $$\mathbb{E}\left[\int_{[0,1]\times[0,1]} W_sW_tdsdt\right] = \int_{[0,1]\times[0,1]}\mathbb{E}[W_sW_t]dsdt \left(= \int_{[0,1]\times[0,1]}\min(s,t)dsdt\right) $$

se debe a la conmutación de la expectativa y la integral (no a la isometría de Ito), que a su vez está permitida por Teorema de Fubini que se cumpla la condición:

$$ \left(\int_{[0,1]\times[0,1]}\mathbb{E}\left[|W_sW_t| \right] ds dt \right)^2\leq $$ $$\int_{[0,1]\times[0,1]}\mathbb{E}\left[|W_sW_t| \right]^2 ds dt \leq \int_{[0,1]\times[0,1]} \mathbb{E}\left[W_s^2 \right] \mathbb{E}\left[W_t^2 \right] dsdt $$ $$= \int_{[0,1]\times[0,1]}st dsdt = \frac{1}{4} <\infty $$

(siendo la primera y la segunda desigualdades aplicaciones de las desigualdades de Jensen y Cauchy-Schwarz, respectivamente).

Para el segundo pregunta, una forma es utilizar la definición de la tiempo integral (Riemann pathwise) y utilizar las propiedades de covarianza:

$$ {\rm cov} \left(\int_0^1 W_tdt, W_1 \right) = {\rm cov} \left(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} W_{\frac{k}{n}}, W_1\right) $$

$$= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} {\rm cov} \left( W_{\frac{k}{n}}, W_1\right) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} $$ $$= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{1}{2}$$

Answer 2

Hay dos preguntas que usted está haciendo:

1. Cómo probar $\text{Var}[I] = \frac{1}{3}$ ? y
2. ¿Qué es? $\text{Cov}[I, W_1]$ ?

Para Pregunta 1 se puede utilizar absolutamente la isometría de Ito. En primer lugar, observa que podemos utilizar la integración por partes para obtener la fórmula: \begin {align} \int_0 ^1 W_t dt &= W_1 - \int_0 ^1tdW_t \\ &= \int_0 ^1(1-t)dW_t \end {align} Así que podemos escribir $I=\int_0^1(1-t)dW_t$ (pasar de una integral de Riemann a una integral de Ito como ésta suele ser un truco útil). Ahora, \begin {align} \text {Var}[I] = \text {E}[I^2] &= \text {E} \bigg [ \bigg ( \int_0 ^1(1-t)dW_t \bigg )^2 \bigg ] \\ &= \int_0 ^1(1-t)^2dt \\ &= \frac {1}{3} \end {align} donde utilizamos la isometría de Ito (exactamente como lo has indicado) para pasar de la primera a la segunda línea.

Para Pregunta 2 , volvemos a utilizar la isometría de Ito. Pero esta vez la forma ligeramente más general ( ver la última ecuación ). Así que, \begin {align} \text {Cov}[W_1, I] = \text {E}[W_1, I] &= \text {E} \bigg [W_1 \int_0 ^1tdW_t \bigg ] \\ &= \text {E} \bigg [ \int_0 ^1dW_t \int_0 ^1tdW_t \bigg ] \\ &= \int_0 ^1tdt \\ &= \frac {1}{2} \end {align} donde utilizamos la isometría general de Ito para pasar de la línea 2 a la línea 3.