Cálculo de la probabilidad de las opciones con distribución normal/lognormal: ¿el tiempo marca la diferencia?

Question

Estoy tratando de calcular la probabilidad de que un spread de calendario resulte en una ganancia al vencimiento, cuando la estimación se modela como una distribución lognormal, obteniendo:

P(a <= x <= b) = CDF(b) - CFA(a)

donde a y b son los umbrales de rentabilidad al vencimiento.

Pero hay algo que no entiendo:

1. ¿Qué valor debo utilizar como varianza? ¿El IV de la opción ATM para un vencimiento cercano? ¿El IV de la acción/índice por debajo?
2. ¿Realmente importa el tiempo? Quiero decir, ya que la distribución lognormal (como se define en scipy / numpy bibliotecas) sólo requiere los valores de la media y la varianza, el tiempo no importa, a menos que se considere que la volatilidad depende de t. Si obtengo la media y la varianza para 2 calendarios, uno con montante delantero que vence en una semana y otro que vence en un año, el tiempo debería importar de alguna manera, haciendo que la PDF de la distribución sea más amplia, y por lo tanto afectando a los resultados de la CDF. ¿Qué se me escapa?

Answer 1

Si $S_t$ es un proceso estocástico y sigue un movimiento browniano geométrico con la siguiente SDE: $$dS_t=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$ entonces $S_T$ sigue una distribución lognormal, tal que $$S_T|S_t \sim logN\left(lnS_t+ (\mu - \frac{\sigma^2}{2})(T-t), \quad \sigma^2(T-t)\right)$$ o $$lnS_T|S_t \sim N\left(lnS_t+ (\mu - \frac{\sigma^2}{2})(T-t), \quad \sigma^2(T-t)\right)$$

Como puede ver, cuanto más se adentre en el futuro, tanto la deriva como la volatilidad aumentan directamente en proporción a $(T-t)$ para el registro del precio de las acciones. Este es un fenómeno natural. Se puede pensar así, la variabilidad mostrada por el precio de las acciones en un año (es decir $T-t=1$ ) es mucho más que la variabilidad mostrada en un minuto o en un día (es decir $T-t=\frac{1}{365}$ ).