Defina la función de coste unitario como $$ c(w) = \min_{z\geq 0} w\cdot z $$ con sujeción a $f(z)\geq 1$ . En el sitio web $w$ es un vector de precios de los insumos, $z$ es el vector de entradas y $f$ es una función de producción. Sabemos por los resultados estándar que $c$ es cóncava y homogénea de grado uno, pero me gustaría establecer condiciones sobre $f$ tal que $c$ también es estrictamente cóncavo.
Ninguna función que sea homogénea de grado uno, es al mismo tiempo estrictamente cóncava en sus argumentos. Si la función es diferenciable (o no diferenciable en un número finito de puntos), entonces el hessiano de una función lineal homogénea es singular. Por lo tanto, si se quiere obtener una función de coste unitario que sea estrictamente cóncava, hay que eliminar al mismo tiempo la homogeneidad lineal en $w$ .
Como señaló Bertrand, la concavidad estricta fallará necesariamente a lo largo de cualquier rayo que pase por el origen. Pero se puede tener concavidad estricta para sistemas de precios normalizados.
Así que dejemos $f:\mathbb{R}^n_+\to\mathbb{R}_+$ sea una función de producción. Dejamos que $\Delta^n_{++}$ sea el conjunto de todos los puntos de $\mathbb{R}^n$ con todas las coordenadas siendo estrictamente positivas y sumando a uno. Es posible tener una función de costes que sea estrictamente cóncava en $\Delta^n_{++}$ .
Propuesta: Supongamos que $f$ es diferenciable y estrictamente creciente en $\mathbb{R}_{++}$ que $f(z)\geq 1$ se mantiene para no $z$ en el límite de $\mathbb{R}_+$ y que $f(z)\geq 1$ para algunos $z$ . Entonces la función $c:\Delta^n_{++}\to\mathbb{R}_{++}$ dado por $$c(w) = \min_{z\geq 0} w\cdot z$$ con sujeción a $f(z)\geq 1$ está bien definida y es estrictamente cóncava.
Prueba: Que $c$ está bien definido es sencillo. Por supuesto, cualquier $z$ que resuelve el problema de minimización para algunos $w$ debe ser estrictamente positivo. Como $f$ es diferenciable y creciente, el gradiente de $f$ en $z$ debe ser colineal con $w$ En particular, ningún punto es un minimizador para más de un $w$ .
Ahora dejemos que $w,w'$ sean dos elementos diferentes de $\Delta^n_{++}$ y $0<\alpha<1$ . Sea $z$ resolver el problema de minimización en $w$ , dejemos que $z'$ resolver el problema de minimización en $w'$ y que $z''$ resolver el problema de minimización en $\alpha w+(1-\alpha)w'$ . Por lo que hemos mostrado antes, $w\cdot z''>w\cdot z$ y $w'\cdot z''>w'\cdot z'$ . Por lo tanto, $$c(w'')=\alpha w+(1-\alpha)w'\cdot z''>\alpha w\cdot z+(1-\alpha)w'\cdot z'=\alpha c(w)+(1-\alpha)c(w').$$ $\square$
Hay que tener en cuenta que se necesita una hipótesis que garantice una solución interior. Si algún insumo no se utiliza en absoluto, el aumento de su precio hará que la misma combinación de insumos sea minimizadora de costes, y a lo largo de tales cambios de precios, la concavidad estricta será necesariamente violada. Sin el supuesto de diferenciabilidad, puede ocurrir que el mismo paquete sea minimizador de costes para varios precios y luego para cualquier combinación convexa de los mismos. Esto también llevaría a una violación de la concavidad estricta.
Gracias esto es muy útil pero estoy confundido en algo. Usted no asume que $f$ es linealmente homogénea, lo que chocaría con la concavidad estricta, supongo. ¿Tal vez la cuasiconcavidad estricta + la homogeneidad lineal serían suficientes?
Permito $f$ para ser homogéneo. El problema es que la propia función de costes es homogénea en $\mathbb{R}_+$ y eso no es compatible con ser estrictamente cóncavo. Si elijo algún $w\gg 0$ entonces la función de coste es esencialmente lineal en el conjunto $\{\lambda w\vert \lambda>0\}$ y, por tanto, no es estrictamente cóncavo. Pero este problema no se da con los precios normalizados.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
