Teoría de los juegos: ¿Continuidad en los beneficios de equilibrio?

Question

Considere 2 agentes $A_i$ . $A1$ se mueve antes que el agente $A2$ . Cada una de sus funciones de utilidad es continua en la decisión de cada agente $0<s_i\in \mathbb{R}$ y un parámetro $x$ . Además, la función de utilidad de cada agente tiene un único máximo interior en su propia decisión $s_i$ .

Los agentes tienen preferencias lexicográficas (principalmente necesarias para que los otros agentes puedan anticipar estrategias): $A_1$ maximiza su propia utilidad, si dos o más estrategias maximizan su propia estrategia elige entre éstas la que es mejor para $A_2$ . $A_2$ maximiza su propia utilidad, si dos o más estrategias maximizan su propia estrategia elige entre éstas la que es mejor para $A_1$ .

Declaración uno: Este juego tiene al menos un SPNE, pero en general varios. En el caso de múltiples SPNE estos tendrán los mismos perfiles de utilidad, es decir, rendirán a cada agente la misma utilidad.

Declaración dos: Los perfiles de utilidad del agente son continuos en $x$ (Recordemos que cada una de sus utilidades era continua en $x$ .) Mi razonamiento para la afirmación dos es que un cambio incremental en x implica que la ne NE estará muy cerca de una de las NE antes del cambio en $x$ . Y como estos NE tenían el mismo perfil de utilidad, el cambio en $x$ sólo tendrá un efecto incremental en los perfiles de utilidad.

¿Está usted de acuerdo con las dos afirmaciones y tiene quizás una argumentación más sólida (en parte para la segunda)?

Answer 1

Permítanme primero tratar de responder a la afirmación 2:

Los perfiles de utilidad del agente son continuos en x

Intentemos dar cuerpo al problema. Dejemos que $S_1$ y $S_2$ sean conjuntos estratégicos compactos y convexos de los jugadores (digamos subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ ) (para simplificar) . Sea $u_1(s_1, s_2, x)$ y $u_2(s_1, s_2,x)$ sean las funciones de utilidad continuas de los dos jugadores.

Resolvamos el SPNE. En la etapa 2, el jugador 2 maximiza su utilidad dada la acción $s_1$ del jugador 1. Esto da: $$ v_2(s_1, x) = \max_{s_2 \in S_2} u_2(s_1, s_2, x)\\ s_2(s_1, x) = \arg\max_{s_2 \in S_2} u_2(s_1, s_2, x). $$

• El problema está bien definido gracias al teorema del máximo.
• La función $v_2(s_1, x)$ es continua (teorema de maximización de Berge).
• La mejor respuesta $s_2(s_1, x)$ sólo se garantiza que sea una correspondencia hemicontinua superior y no vacía.
• Si $s_2(s_1, x)$ es de un solo valor, entonces es continua. Sin embargo, la unicidad dependerá de la forma funcional de $u_2(s_1, s_2, x)$ (por ejemplo, la cuasi-concavidad estricta) y, por lo tanto, no se deduce de los supuestos hasta ahora.

Dejemos que $\tilde s_2(s_1, x)$ sea una selección de $s_2(s_1, x)$ . En la etapa 1, el problema de optimización del jugador 1 es: $$ v_1^\ast(x) = \max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x).\\ s_1^\ast(x) = \arg\max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x). $$

• Si la selección $\tilde s_2(s_1, x)$ del jugador 2 es la elección óptima de $s_2(s_1, x)$ para el jugador 1, entonces la función objetivo parece ser semicontinua superior, (pero no, en general, continua). Debido a la semicontinuidad superior de la función objetivo, el problema de maximización está bien definido.
• Aunque $v_1^\ast$ será (creo) semicontinuo superior, no es necesariamente continuo. De todos modos, la mejor correspondencia de respuesta $s_1^\ast(x)$ no tiene por qué ser continua.
• Si $s_2(s_1, x)$ era de un solo valor, entonces es continua, lo que significa que $v_1^\ast(x)$ también es continua. Si, además $s_1^\ast(x)$ también es de un solo valor, entonces también será continua.

Dejemos que $\tilde s_1(x)$ ser una selección de la mejor respuesta $s_1^\ast(x)$ del jugador 1. Entonces, podemos definir: $$ v_2^\ast(x) = v_2(\tilde s_1(x), x),\\ s_2^\ast(x) = \tilde s_2(\tilde s_1(x), x). $$

• En general, ninguno de los dos $v_2^\ast(x)$ ni $s_2^\ast(x)$ deben ser continuas.
• Si ambos $s_1^\ast(x)$ y $s_2(s_1, x)$ son de un solo valor, entonces $v_2^\ast(x)$ y $s_2^\ast(x)$ serán ambos continuos.

Por lo tanto, parece que la afirmación 2 se cumple si tanto $s_2(s_1, x)$ y $s_1^\ast(x)$ son de valor único.

• Valor único de $s_2(s_1, x)$ se mantiene si (por ejemplo) $u_2(s_1, s_2, x)$ es estrictamente cuasicóncava en $s_2$
• A su vez, la valoración única de $s_1^\ast(x)$ se mantiene si $u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), s_1)$ es estrictamente cuasicóncava en $s_1$ . Obsérvese que la cuasi-concavidad estricta de $u_1(s_1, s_2(s_1, x), x)$ es una suposición fuerte ya que pone restricciones de forma a la mejor respuesta $s_2(s_1, x)$ (y no sólo en la función $u_1$ mismo).

Espero que esto responda a la afirmación 2.

Para la declaración 1:

Este juego tiene al menos un SPNE, pero en general varios. En el caso de múltiples SPNE estos tendrán los mismos perfiles de utilidad, es decir, rendirán a cada agente la misma utilidad.

• Como se ha mostrado anteriormente, la existencia de un SPNE puede demostrarse utilizando únicamente la continuidad de $u_1$ y $u_2$ y la compacidad de los conjuntos de estrategias, y bajo el supuesto de que $\tilde s_2(s_1, x)$ selecciona la mejor opción para el jugador 1.
• En general, diferentes SPNE no darán la misma utilidad. Supongamos que en la etapa 2, el jugador 2 es indiferente entre más de una estrategia óptima, por lo que $s_2(s_1, x)$ es multivalente (por ejemplo, supongamos que $u_2(s_1, s_2, x)$ es la función constante, por lo que el jugador 2 es indiferente entre cada estrategia en $S_2$ ). Si las selecciones son diferentes $\tilde s_2(s_1, x)$ de $s_2(s_1, x)$ proporcionan diferentes utilidades para el jugador 1, entonces es posible que $v_1^\ast$ toma diferentes valores en función de la elección del jugador 2 en la fase 2 del juego. Así que diferentes SPNE pueden dar diferentes utilidades.

Answer 2

Este juego no tiene por qué tener ningún equilibrio tal y como se define aquí con la estructura lexicográfica. Consideremos una situación en la que el resultado depende sólo de la acción $x$ del jugador $1$ con $u_1(x)=\sin x$ y $u_2(x)=x$ . Hay infinitos máximos de $u_1$ pero no el mayor maximizador. Por lo tanto, no se puede seleccionar la mejor opción para el jugador $2$ entre los que son óptimos para el jugador $1$ .