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Teoría de los juegos: ¿Continuidad en los beneficios de equilibrio?

Considere 2 agentes Ai . A1 se mueve antes que el agente A2 . Cada una de sus funciones de utilidad es continua en la decisión de cada agente 0<siR y un parámetro x . Además, la función de utilidad de cada agente tiene un único máximo interior en su propia decisión si .

Los agentes tienen preferencias lexicográficas (principalmente necesarias para que los otros agentes puedan anticipar estrategias): A1 maximiza su propia utilidad, si dos o más estrategias maximizan su propia estrategia elige entre éstas la que es mejor para A2 . A2 maximiza su propia utilidad, si dos o más estrategias maximizan su propia estrategia elige entre éstas la que es mejor para A1 .

Declaración uno: Este juego tiene al menos un SPNE, pero en general varios. En el caso de múltiples SPNE estos tendrán los mismos perfiles de utilidad, es decir, rendirán a cada agente la misma utilidad.

Declaración dos: Los perfiles de utilidad del agente son continuos en x (Recordemos que cada una de sus utilidades era continua en x .) Mi razonamiento para la afirmación dos es que un cambio incremental en x implica que la ne NE estará muy cerca de una de las NE antes del cambio en x . Y como estos NE tenían el mismo perfil de utilidad, el cambio en x sólo tendrá un efecto incremental en los perfiles de utilidad.

¿Está usted de acuerdo con las dos afirmaciones y tiene quizás una argumentación más sólida (en parte para la segunda)?

3voto

tdm Puntos 146

Permítanme primero tratar de responder a la afirmación 2:

Los perfiles de utilidad del agente son continuos en x

Intentemos dar cuerpo al problema. Dejemos que S1 y S2 sean conjuntos estratégicos compactos y convexos de los jugadores (digamos subconjuntos de Rn ) (para simplificar) . Sea u1(s1,s2,x) y u2(s1,s2,x) sean las funciones de utilidad continuas de los dos jugadores.

Resolvamos el SPNE. En la etapa 2, el jugador 2 maximiza su utilidad dada la acción s1 del jugador 1. Esto da: v2(s1,x)=max

  • El problema está bien definido gracias al teorema del máximo.
  • La función v_2(s_1, x) es continua (teorema de maximización de Berge).
  • La mejor respuesta s_2(s_1, x) sólo se garantiza que sea una correspondencia hemicontinua superior y no vacía.
  • Si s_2(s_1, x) es de un solo valor, entonces es continua. Sin embargo, la unicidad dependerá de la forma funcional de u_2(s_1, s_2, x) (por ejemplo, la cuasi-concavidad estricta) y, por lo tanto, no se deduce de los supuestos hasta ahora.

Dejemos que \tilde s_2(s_1, x) sea una selección de s_2(s_1, x) . En la etapa 1, el problema de optimización del jugador 1 es: v_1^\ast(x) = \max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x).\\ s_1^\ast(x) = \arg\max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x).

  • Si la selección \tilde s_2(s_1, x) del jugador 2 es la elección óptima de s_2(s_1, x) para el jugador 1, entonces la función objetivo parece ser semicontinua superior, (pero no, en general, continua). Debido a la semicontinuidad superior de la función objetivo, el problema de maximización está bien definido.
  • Aunque v_1^\ast será (creo) semicontinuo superior, no es necesariamente continuo. De todos modos, la mejor correspondencia de respuesta s_1^\ast(x) no tiene por qué ser continua.
  • Si s_2(s_1, x) era de un solo valor, entonces es continua, lo que significa que v_1^\ast(x) también es continua. Si, además s_1^\ast(x) también es de un solo valor, entonces también será continua.

Dejemos que \tilde s_1(x) ser una selección de la mejor respuesta s_1^\ast(x) del jugador 1. Entonces, podemos definir: v_2^\ast(x) = v_2(\tilde s_1(x), x),\\ s_2^\ast(x) = \tilde s_2(\tilde s_1(x), x).

  • En general, ninguno de los dos v_2^\ast(x) ni s_2^\ast(x) deben ser continuas.
  • Si ambos s_1^\ast(x) y s_2(s_1, x) son de un solo valor, entonces v_2^\ast(x) y s_2^\ast(x) serán ambos continuos.

Por lo tanto, parece que la afirmación 2 se cumple si tanto s_2(s_1, x) y s_1^\ast(x) son de valor único.

  • Valor único de s_2(s_1, x) se mantiene si (por ejemplo) u_2(s_1, s_2, x) es estrictamente cuasicóncava en s_2
  • A su vez, la valoración única de s_1^\ast(x) se mantiene si u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), s_1) es estrictamente cuasicóncava en s_1 . Obsérvese que la cuasi-concavidad estricta de u_1(s_1, s_2(s_1, x), x) es una suposición fuerte ya que pone restricciones de forma a la mejor respuesta s_2(s_1, x) (y no sólo en la función u_1 mismo).

Espero que esto responda a la afirmación 2.

Para la declaración 1:

Este juego tiene al menos un SPNE, pero en general varios. En el caso de múltiples SPNE estos tendrán los mismos perfiles de utilidad, es decir, rendirán a cada agente la misma utilidad.

  • Como se ha mostrado anteriormente, la existencia de un SPNE puede demostrarse utilizando únicamente la continuidad de u_1 y u_2 y la compacidad de los conjuntos de estrategias, y bajo el supuesto de que \tilde s_2(s_1, x) selecciona la mejor opción para el jugador 1.
  • En general, diferentes SPNE no darán la misma utilidad. Supongamos que en la etapa 2, el jugador 2 es indiferente entre más de una estrategia óptima, por lo que s_2(s_1, x) es multivalente (por ejemplo, supongamos que u_2(s_1, s_2, x) es la función constante, por lo que el jugador 2 es indiferente entre cada estrategia en S_2 ). Si las selecciones son diferentes \tilde s_2(s_1, x) de s_2(s_1, x) proporcionan diferentes utilidades para el jugador 1, entonces es posible que v_1^\ast toma diferentes valores en función de la elección del jugador 2 en la fase 2 del juego. Así que diferentes SPNE pueden dar diferentes utilidades.

2voto

henrikpp Puntos 340

Este juego no tiene por qué tener ningún equilibrio tal y como se define aquí con la estructura lexicográfica. Consideremos una situación en la que el resultado depende sólo de la acción x del jugador 1 con u_1(x)=\sin x y u_2(x)=x . Hay infinitos máximos de u_1 pero no el mayor maximizador. Por lo tanto, no se puede seleccionar la mejor opción para el jugador 2 entre los que son óptimos para el jugador 1 .

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