Permítanme primero tratar de responder a la afirmación 2:
Los perfiles de utilidad del agente son continuos en x
Intentemos dar cuerpo al problema. Dejemos que S1 y S2 sean conjuntos estratégicos compactos y convexos de los jugadores (digamos subconjuntos de Rn ) (para simplificar) . Sea u1(s1,s2,x) y u2(s1,s2,x) sean las funciones de utilidad continuas de los dos jugadores.
Resolvamos el SPNE. En la etapa 2, el jugador 2 maximiza su utilidad dada la acción s1 del jugador 1. Esto da: v2(s1,x)=max
- El problema está bien definido gracias al teorema del máximo.
- La función v_2(s_1, x) es continua (teorema de maximización de Berge).
- La mejor respuesta s_2(s_1, x) sólo se garantiza que sea una correspondencia hemicontinua superior y no vacía.
- Si s_2(s_1, x) es de un solo valor, entonces es continua. Sin embargo, la unicidad dependerá de la forma funcional de u_2(s_1, s_2, x) (por ejemplo, la cuasi-concavidad estricta) y, por lo tanto, no se deduce de los supuestos hasta ahora.
Dejemos que \tilde s_2(s_1, x) sea una selección de s_2(s_1, x) . En la etapa 1, el problema de optimización del jugador 1 es: v_1^\ast(x) = \max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x).\\ s_1^\ast(x) = \arg\max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x).
- Si la selección \tilde s_2(s_1, x) del jugador 2 es la elección óptima de s_2(s_1, x) para el jugador 1, entonces la función objetivo parece ser semicontinua superior, (pero no, en general, continua). Debido a la semicontinuidad superior de la función objetivo, el problema de maximización está bien definido.
- Aunque v_1^\ast será (creo) semicontinuo superior, no es necesariamente continuo. De todos modos, la mejor correspondencia de respuesta s_1^\ast(x) no tiene por qué ser continua.
- Si s_2(s_1, x) era de un solo valor, entonces es continua, lo que significa que v_1^\ast(x) también es continua. Si, además s_1^\ast(x) también es de un solo valor, entonces también será continua.
Dejemos que \tilde s_1(x) ser una selección de la mejor respuesta s_1^\ast(x) del jugador 1. Entonces, podemos definir: v_2^\ast(x) = v_2(\tilde s_1(x), x),\\ s_2^\ast(x) = \tilde s_2(\tilde s_1(x), x).
- En general, ninguno de los dos v_2^\ast(x) ni s_2^\ast(x) deben ser continuas.
- Si ambos s_1^\ast(x) y s_2(s_1, x) son de un solo valor, entonces v_2^\ast(x) y s_2^\ast(x) serán ambos continuos.
Por lo tanto, parece que la afirmación 2 se cumple si tanto s_2(s_1, x) y s_1^\ast(x) son de valor único.
- Valor único de s_2(s_1, x) se mantiene si (por ejemplo) u_2(s_1, s_2, x) es estrictamente cuasicóncava en s_2
- A su vez, la valoración única de s_1^\ast(x) se mantiene si u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), s_1) es estrictamente cuasicóncava en s_1 . Obsérvese que la cuasi-concavidad estricta de u_1(s_1, s_2(s_1, x), x) es una suposición fuerte ya que pone restricciones de forma a la mejor respuesta s_2(s_1, x) (y no sólo en la función u_1 mismo).
Espero que esto responda a la afirmación 2.
Para la declaración 1:
Este juego tiene al menos un SPNE, pero en general varios. En el caso de múltiples SPNE estos tendrán los mismos perfiles de utilidad, es decir, rendirán a cada agente la misma utilidad.
- Como se ha mostrado anteriormente, la existencia de un SPNE puede demostrarse utilizando únicamente la continuidad de u_1 y u_2 y la compacidad de los conjuntos de estrategias, y bajo el supuesto de que \tilde s_2(s_1, x) selecciona la mejor opción para el jugador 1.
- En general, diferentes SPNE no darán la misma utilidad. Supongamos que en la etapa 2, el jugador 2 es indiferente entre más de una estrategia óptima, por lo que s_2(s_1, x) es multivalente (por ejemplo, supongamos que u_2(s_1, s_2, x) es la función constante, por lo que el jugador 2 es indiferente entre cada estrategia en S_2 ). Si las selecciones son diferentes \tilde s_2(s_1, x) de s_2(s_1, x) proporcionan diferentes utilidades para el jugador 1, entonces es posible que v_1^\ast toma diferentes valores en función de la elección del jugador 2 en la fase 2 del juego. Así que diferentes SPNE pueden dar diferentes utilidades.