Gran respuesta dada por KeSchn más arriba. Me gustaría añadir una perspectiva adicional. Mi experiencia y mi comprensión de la medida Risk Neutral se basan por completo en los argumentos de "no arbitraje" y "replicación/cobertura".
La forma en que me gustaría explicar este punto de vista es a través de lo siguiente construcción en tres etapas :
(i) En primer lugar, quiero construir la intuición con un modelo discreto de un solo período: una sola acción y una cuenta sin riesgo, sin derivados . El objetivo es demostrar que, incluso sin tratar de fijar el precio de los derivados, se puede crear un objeto matemático denominado "medida de probabilidad neutral al riesgo", simplemente asumiendo que no hay arbitraje en el modelo .
(ii) Entonces quiero demostrar que valorar un derivado mediante la réplica de su pago con el instrumento subyacente y el instrumento de tasa libre de riesgo es equivalente a tomando la expectativa del pago del derivado bajo la medida de riesgo neutral y descontándolo .
(iii) A continuación, quiero destacar que el modelo discreto converge al conocido modelo continuo de Black-Scholes .
Parte 1: Modelo discreto de un solo periodo:
Supongo que el precio de las acciones de hoy es $S_0$ y dentro de un período, el precio de las acciones puede ser $S_0 * u=S_u$ o $S_0 * d=S_d$ con $u$ y $d$ siendo los factores multiplicativos "arriba" y "abajo". Asumo que la tasa libre de riesgo es $r$ .
Ahora voy a realizar la siguiente manipulación algebraica:
$$ S_0 = \frac{S_0(u-d)}{(u-d)}= \\= \frac{1}{e^r}\frac{S_0(u-d)e^r}{(u-d)}= \\ =\frac{1}{e^r}\frac{S_0(u-d)e^r+(S_0ud - S_0ud)}{(u-d)}=\\= \frac{1}{e^r}\left( \frac{S_0ue^r -(S_0ud)}{u-d} + \frac{-S_0de^r+(S_0ud)}{u-d} \right)=\\=\frac{1}{e^r}\left(S_0u \left( \frac{e^r -d}{u-d} \right) + S_0d \left(\frac{u-e^r}{u-d} \right) \right)$$
Sin imponer algunas condiciones a $u$ , $d$ y $r$ En el caso de los países en vías de desarrollo, podría haber algunas oportunidades de arbitraje. Si por ejemplo $e^r>u$ En este caso, podría ponerme en corto con las acciones e invertir en la cuenta sin riesgo, y en ambos estados futuros podría volver a comprar las acciones por menos de lo que gané con la cuenta sin riesgo.
Imponente $u \leq e^r \leq d$ El modelo de un solo período no permite el arbitraje. Además, esto también dará lugar a los siguientes límites:
$$0 \leq \frac{e^r -d}{u-d} \leq 1$$
$$0 \leq \frac{u-e^r}{u-d} \leq 1$$
Además:
$$ \frac{e^r -d}{u-d} + \frac{u-e^r}{u-d} = 1 $$
Llamemos a $\frac{e^r -d}{u-d}:=p_u$ y $\frac{u-e^r}{u-d}:=p_d$ . En el modelo de un período, las acciones que suben y las que bajan son dos estados diferentes del mundo, es decir, no hay "intersección" entre estos estados en el sentido probabilístico. Por lo tanto, $p_u$ y $p_d$ son aditivos sobre conjuntos disjuntos y están dentro del rango cero-uno, por lo tanto, matemáticamente, estos parámetros califican como un medida de probabilidad .
Reescribiendo la manipulación algebraica anterior en términos de $p_u$ & $p_d$ produce lo siguiente:
$$ S_0 = \frac{S_u p_u + S_d p_d}{e^r} = \frac{1}{e^r}\mathbb{E} [S_1] $$
Observe también que en toda la construcción anterior no hemos hablado de las probabilidades de que las acciones suban o bajen. Cada participante en el mercado puede tener su visión bayesiana del mundo con diferentes probabilidades asignadas a la subida o bajada de las acciones. Pero el la medida neutral de riesgo es acordada por el mercado en su conjunto como consecuencia de la ausencia de arbitraje .
Esto también trae a colación un punto interesante: en mi opinión, las probabilidades neutrales al riesgo son probabilidades sólo en el sentido de "objeto matemático". En realidad, no representan "probabilidades", en el sentido en que a los seres humanos nos gusta interpretar los acontecimientos probabilísticos.
Parte 2: Valoración de los derivados:
Supongamos que queremos valorar un derivado sobre la acción con función de pago $V(S_t)$ (puede ser un delantero, una opción, lo que sea). El pago derivado en los dos estados será trivialmente $V(S_u)$ y $V(S_d)$ . Tenemos dos estados, dos instrumentos subyacentes: intentemos replicar el pago del derivado en ambos estados ( $x$ es el número de acciones y $y$ es la cantidad invertida en la cuenta sin riesgo: Quiero replicar el pago del derivado en ambos estados con $x$ acciones y $y$ inversión sin riesgo):
$$ (i) x S_u + ye^r = V(S_u) $$ $$ (ii) x S_d + ye^r = V(S_d) $$
Resolver da:
$$ x = \frac{V(S_u)-V(S_d)}{S_0(u-d)} $$
$$ y = \frac{uV(S_d)-dV(S_u)}{(u-d)} \frac{1}{e^r} $$
Por lo tanto, el precio del derivado en el momento $t_0$ es el $x$ importe de la acción + $y$ cantidad invertida en la cuenta sin riesgo:
$$ V(S_0,t_0) = x*S_0 + y*1 = \\ = \frac{V(S_u)-V(S_d)}{S_0(u-d)}*S_0 + \frac{uV(S_d)-dV(S_u)}{(u-d)} \frac{1}{e^r}*1$$ .
Lo anterior se evalúa como:
$$\frac{1}{e^r}\left(V(S_u) \left( \frac{e^r -d}{u-d} \right) + V(S_d) \left(\frac{u-e^r}{u-d} \right) \right) $$
Obsérvese que de nuevo podemos escribir $\frac{e^r -d}{u-d}:=p_u$ y $\frac{u-e^r}{u-d}:=p_d$ , donde en particular $p_u$ y $p_d$ son los mismos que en Parte 1 arriba, por lo tanto, en lugar de tener que calcular las ponderaciones de la cartera de réplica $x$ y $y$ la derivada puede ser valorada como:
$$ V(S_0,t_0) = \frac{1}{e^r}\left(V(S_u) p_u + V(S_d) p_d \right) = \\ = \frac{1}{e^r} \mathbb{E}[V(S_1,t_1)]$$
Esperemos que a estas alturas puedas ver a dónde quiero llegar: la técnica de fijación de precios de medidas neutrales al riesgo tiene las siguientes características:
(A) Es un consecuencia de los supuestos de no arbitraje en el modelo
(B) Tomar la expectativa de un pago de un derivado y descontarlo a hoy es el equivalente a: calcular las ponderaciones de la "cartera de réplica" en cada paso de tiempo, y valorar el derivado usando estas ponderaciones de réplica en el tiempo $t_0$ .
Parte 3: Modelos de tiempo continuo:
La ampliación del modelo de un período conduce a un modelo discreto de "árbol binomial" de varios períodos. Para fijar el precio de un derivado en un árbol multiperiodo habría que trabajar "hacia atrás" desde el pago final y calcular el pago de la cartera de réplica en cada nodo. Como alternativa, lo más conveniente es utilizar la expectativa neutral al riesgo del pago final y descontarlo a "hoy", ya que esto producirá el mismo resultado (como se muestra arriba) y nos ahorrará tener que preocuparnos por los pesos de la cartera de réplica.
Existen múltiples documentos en línea que muestran cómo el modelo de árbol binomial converge a la fórmula de Black-Scholes cuando el número de pasos tiende a infinito como $\delta t$ tiende a cero (por ejemplo aquí https://homes.cs.washington.edu/~thickstn/docs/bscrr.pdf ). Es bastante fácil de demostrar y es un ejercicio interesante: sólo es un poco tedioso (dos páginas de manipulaciones algebraicas).
Lo interesante es que el peso de réplica de la acción, es decir $x$ converge a $N(d_1)$ es decir, la opción instantánea Delta.
Concluiré haciendo el mismo resumen que KeSchn, pero con los siguientes comentarios adicionales:
Resumen
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Las medidas de probabilidad neutrales al riesgo son medidas artificiales ( acordado ) compuesto por la aversión al riesgo (SDF) y las probabilidades del mundo real ( no está de acuerdo aquí No creo que la aversión al riesgo entre en juego. Lo veo como una medida artificial creada enteramente al asumir la existencia de no-arbitraje y de integridad).
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Los derivados pueden tener un precio relativo a los activos subyacentes. Este precio de cobertura puede calcularse como una expectativa con respecto a la medida de probabilidad neutral al riesgo ( acordado ). Las medidas de martingala equivalentes están profundamente relacionadas con la ausencia de arbitraje y la exhaustividad ( acordado : Yo diría que no sólo están profundamente relacionadas con éstas, sino que son las consecuencia de estos).
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La densidad neutra de riesgo puede estimarse a partir de los datos de mercado observados ( acordado (es decir, diferenciando dos veces la superficie de Vol Implícito con respecto al strike). El marco de neutralidad del riesgo conecta muchos enfoques diferentes de la fijación de precios de los derivados
