Todas las medidas de martingala tienen el mismo precio de la demanda alcanzable

Question

Información de fondo:

Esta pregunta es de Lectures on Financial Mathematics: Valoración de Activos Discretos.

Teorema 3.2 Primer teorema fundamental de la valoración de activos - Supongamos $\nu$ es cualquier medida tal que $S/S^{0}$ es un $\nu$ -martingale. Para un reclamo alcanzable $X$ con estrategia de réplica $\phi$ y $0\leq t\leq T$ tenemos $$V_t(\phi) = E_{\nu}\left(X\frac{S_t^{0}}{S_T^{0}}|\mathcal{F}_t\right)$$

Pregunta:

Pruébalo:

1. Todas las medidas de martingala ponen el mismo precio a la demanda alcanzable, y

2. si existe una medida de martingala, entonces todas las estrategias de réplica para un determinado reclamo tienen el mismo valor en todo momento.

Estoy un poco confundido incluso por dónde empezar, alguna guía o sugerencia podría ayudar.

Answer 1

Para la pregunta 1, dejemos que $\phi$ ser una estrategia de réplica, es decir, $V_T(\phi) = X$ . Entonces, para dos medidas de martingala cualesquiera $u$ y $v$ de la Primer teorema fundamental de la valoración de activos , \begin {align*} E_u \left (X \frac {S_t^0}{S_T^0} \mid \mathcal {F}_t \right ) = V_t( \phi ), \end {align*} y \begin {align*} E_v \left (X \frac {S_t^0}{S_T^0} \mid \mathcal {F}_t \right ) = V_t( \phi ). \end {align*} Es decir, todas las medidas de martingala tienen el mismo precio de la demanda alcanzable.

Para la pregunta 2, dejemos que $\mu$ sea la medida martingala. Además, dejemos que $\phi$ y $\psi$ ser dos estrategias de réplica, es decir, $V_T(\phi)= V_T(\psi)=X$ . Entonces, para cualquier momento $t$ , \begin {align*} V_t( \phi ) &= E_{ \mu } \left (V_T( \phi ) \frac {S_t^0}{S_T^0} \mid \mathcal {F}_t \right ) \\ &= E_{ \mu } \left (X \frac {S_t^0}{S_T^0} \mid \mathcal {F}_t \right ) \\ &= E_{ \mu } \left (V_T( \psi ) \frac {S_t^0}{S_T^0} \mid \mathcal {F}_t \right ) \\ &= V_t( \psi ). \end {align*} Es decir, todas las estrategias de réplica para un determinado reclamo tienen el mismo valor en todo momento.