¿Qué ocurre con el consumo efectivo y el capital en el modelo de Ramsey/Cass-Koopmans (RCK) cuando el crecimiento tecnológico disminuye?

Question

¿Es correcta la conclusión de que ambas disminuyen? Tanto a largo como a corto plazo.

Dejemos que $g_x$ denotan la tasa de crecimiento de $x$ , $g_c$ la tasa de crecimiento de $\hat c$ . En el modelo no hay depreciación así que,

$$ g_c = \frac 1{\theta}[r - \rho - \theta g_x] $$

$$\dot {\hat k} = f(\hat k) - \hat c - (n+g_x)\hat k$$

Con un crecimiento en estado estacionario de $\hat k$ y $\hat c$ son ambos $0$ . Cuando este es el caso:

$$\hat c^* = f(\hat k^*) - (n+g_x)\hat k^*$$

También desde $r = f'(k)$

$$f'(\hat k^*) = \rho + \theta g_x$$

De alguna manera, basándome en estas ecuaciones, llego a la conclusión contraria, es decir, que $\hat c^*$ y $\hat k^*$ aumentará en lugar de disminuir si $g_x$ se reduce.

Answer 1

Cuando la tasa (exógena) de cambio tecnológico/eficiencia es menor, los correspondientes niveles de estado estacionario de consumo y capital por unidad de trabajo efectivo, aumentar .

Para el capital, tenemos

$$f'(\hat k^*) = \rho + \theta g_x \implies \frac {\partial}{\partial g_x}f'(\hat k^*) = \theta >0$$

Así que si $g_x \downarrow \implies f'(\hat k^*) \downarrow \implies \hat k^* \uparrow$ debido a la disminución del producto marginal del capital.

Para el consumo en estado estacionario por unidad de trabajo efectivo tenemos

$$\hat c^* = f(\hat k^*) - (n+g_x)\hat k^*$$

$$\implies \frac {\partial \hat c^*}{\partial g_x}= f'(\hat k^*) \frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x} - \hat k^* - (n+g_x) \frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x}$$

$$=[f'(\hat k^*) - n - g_x]\cdot \frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x} - \hat k^* $$

El término entre paréntesis se supone positivo, es decir, ya hemos supuesto

$$f'(\hat k^*) = \rho + \theta g_x > n + g_x \implies \rho > n + (1-\theta)g_x$$

para excluir la utilidad infinita.

Además, evidentemente $\frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x} <0$ por lo que en todo

$$\frac {\partial \hat c^*}{\partial g_x} <0$$

Por lo tanto, si $g_x \downarrow \implies \hat c^* \uparrow $ .

Ver Barro y Martin , cap. 2 página 102, donde se habla de la $g_x \uparrow$ (en la página 101 se habla de la restricción de los parámetros).

Comentario: Este resultado puede parecer contraintuitivo, pero un examen más profundo del modelo muestra que si $g_x$ es menor, utilidad per cápita es menor. Utilizar el "consumo por unidad de trabajo efectivo" es una táctica de modelización, lo que nos interesa es lo que ocurre por individuo. Así que no, el modelo no argumentar a favor de una menor productividad/tecnología.