El modelo trinomial converge débilmente a Black-Scholes

Question

Consideremos un modelo trinomial de riesgo neutro con $N$ períodos presentados por $$S_{(k+1)\delta}H_{k+1}, \ \ \text{for} \ \ k=0,\ldots,N-1$$ donde $\delta:=\frac{T}{N}$ y $\{H_k\}_{1}^{N}$ es una secuencia de variables aleatorias i.i.d con distribución $$H_k = \begin{cases} e^{\delta(r-\sigma^2/2)+\sqrt{3\delta}\sigma} \ &\text{with probability} \ \hat{\pi} = \frac{1}{6}\\ e^{\delta(r-\sigma^2/2)} \ &\text{with probability} \ 1 - \hat{\pi} = \frac{2}{3}\\ e^{\delta(r-\sigma^2/2)-\sqrt{3\delta}\sigma} \ &\text{with probability} \ \hat{\pi} = \frac{1}{6}\\ \end{cases}$$ y $\hat{\pi}$ < 1/2. Demuestre que como $\delta\rightarrow 0$ Este modelo trinomial converge al modelo Black-Scholes en sentido débil. Pista: Encuentre $Z_k$ tal que $\ln(H_k) = (r - \sigma^2/2)\delta + \sigma\sqrt{\delta}Z_k$ . Entonces demuestre (3.6)

(3.6) establece que si $\hat{\mathbb{E}}[Z_1] = o(\delta)$ y $\hat{\mathbb{E}}[Z_1^2] = 1 + o(1)$ entonces $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N}Z_k$ converge débilmente a $\mathcal{N}(0,1)$ .

Intento de solución: Que $\{Z_k\}_{1}^{N}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con la siguiente distribución $$Z_k = \begin{cases} \alpha \ &\text{with probability} \ \hat{\pi}\\ -\beta \ &\text{with probability} \ 1-\hat{\pi} \end{cases}$$ tal que $\ln(H_k) = (r - \sigma^2/2)\delta + \sigma\sqrt{\delta}Z_k$ .

No estoy muy seguro de qué hacer a partir de aquí, cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Creo que mezclas la ley marginal, y la ley del proceso.

Su $Z_k$ debe tener tres valores, sólo hay que escribir el valor de $\ln(H_k)$ para cada valor posible

Dejemos que $X$ tomando valores $(x_1,x_2,...,x_n)$ y $p_i=P(X=X_i)$ entonces $P(f(X)=f(x_i))=\sum_{j=1}^n p_j\mathbf{1}_{f(x_j)=f(x_i)}$

si $f$ es un mapeo uno a uno, se obtiene $f(x_j)=f(x_i)\Rightarrow i=j$ y $P(f(X)=f(x_i))=p_i$ .