Resolución de la función de beneficio $\pi (w,p)$ dada la función de producción de salida $f(z) = \sqrt{2z_1 + 3z_2}$ .
Abordé este problema tratando de resolver el $p\nabla f(z) = w$ . Esto se deriva del establecimiento del Lagrangiano para el Problema de Maximización de Beneficios, \begin {align*} \text {maximizar } &pf(z)-w^Tz \\\ \Rightarrow \mathcal {L}(z) &= pf(z) -w^Tz \end {align*} Entonces llevando el parcial del Lagrange a cero, \begin {align*} \frac { \partial \mathcal {L}}{ \partial z} = 0 = p \nabla f(z) - w \\ \Rightarrow p \nabla f(z) = w. \end {align*} El problema es que pensé que podría resolver un óptimo $z^*$ Pero eso no parece posible, pero sé que existe una solución.
Para mostrar esta cuestión de forma sencilla, dejemos que $q=f(z)$ , entonces el gradiente es: \begin {align} \nabla f(z) = \begin {bmatrix} 1/q \\ 3/2q \end {bmatrix} \end {align} Así que resolviendo nuestra ecuación $p\nabla f(z) = w$ debería permitirnos resolver para $z_1,z_2$ pero como puedes ver, \begin {align*} \begin {bmatrix} 1/q \\ 3/2q \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} w_1/p \\ w_2/p \end {bmatrix} \\ \Rightarrow \begin {bmatrix} q \\ q \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} p/w_1 \\ 3p/2w_2 \end {bmatrix} \\ \Rightarrow \begin {bmatrix} \sqrt {2z_1 + 3z_2} \\ \sqrt {2z_1 + 3z_2} \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} p/w_1 \\ 3p/2w_2 \end {bmatrix} \end {align*} Esto demuestra que no puedo aislar $z_1$ o $z_2$ . Sin un óptimo $z^*=<z_1^*,z_2^*>$ No puedo encontrar mi función de beneficio $\pi(w,p) = pf(z^*) - w^Tz^*$ .
EDITAR Mi opinión es que en realidad, para alguna salida $q$ Mi función de beneficio es la que ya he resuelto, $\pi(w,p)=\max{\{pw_1, 3p/2w_2\}}$
¿Puede alguien confirmarlo?
