Sillas de montar y expectativas racionales. La barrera del idioma me impide resolver este ejercicio

Question

Para el sistema \begin {align} \dot {x} = x + y + 1 \\ \dot {y} = 2x - y + 5 \end {align}

(i) Encuentra el punto fijo.

(ii) Transformar el sistema en desviaciones desde el punto fijo . ¿Cuáles son las raíces características de la transformada sistema ?

(iii) Deduzca las ecuaciones para la estabilidad y la inestabilidad brazos .

(iv) Configura el modelo en una hoja de cálculo y traza, en el mismo gráfico las siguientes trayectorias:

(a) La trayectoria de inicial punto (-2,4)

(b) El brazo inestable de paso el punto en el que $x=2$

4º ejercicio página 172 en el libro "An Introduction to Economic Dynamics"

¿Puede alguien explicarme cómo se resuelve - (ii) Transformar el sistema en desviaciones del punto fijo. ¿Cuáles son las raíces características de este sistema transformado?

Sencillamente, no entiendo el sentido del ejercicio. ¿Alguien puede explicar qué quiere que hagamos?

Soy un estudiante eslovaco y los ejercicios en inglés me están atascando. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

$\newcommand{\vect}[1]{{\bf #1}}$

Tenga en cuenta que puede escribir el sistema en la forma

$$ \dot{\vect{x}} = A \vect{x} + \vect{b} $$

donde

$$ \vect{x} = \left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right), ~~ A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right), ~~~ \vect{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5\end{array}\right) $$

Un punto fijo $\vect{x}^*$ es un punto para el que $A\vect{x}^* + \vect{b} = 0$ que en este caso es

$$ \vect{x}^* = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1\end{array}\right) $$

Ahora define la variable

$$ \vect{z} = \vect{x} - \vect{x}^* $$

y observe que

$$ \dot{\vect{z}} = \dot{\vect{x}} = A\vect{x} + \vect{b} = A\vect{x} - A\vect{x}^* = A(\vect{x} - \vect{x}^*) = A\vect{z} $$

Eso es,

$$ \dot{\vect{z}} = A \vect{z} $$

Lo que hay que hacer ahora es encontrar la descomposición propia de $A$