Reversión media y beta ajustada para la negociación de pares

Question

Tratando de evaluar el modelo para el comercio de pares. Considere la fórmula clásica:

$\frac{dP}{P} = adt+b\frac{dQ}{Q}+dX$ ,

donde $P$ y $Q$ son los precios de las acciones, y $X$ es un proceso de reversión media (MRP) y $a$ se acerca a cero.

Utilizando un ejemplo del mundo real, me gustaría evaluar los parámetros del MRP. Prácticamente no podemos observar el MRP, sino que podemos derivarlo de $P$ y $Q$ . Si vamos directamente y calculamos $\hat{b}$ como estimador por mínimos cuadrados de $\frac{dP}P$ contra $\frac{dQ}Q$ entonces tenemos una estimación residual incluyendo MRP., es decir

$$ \frac{dP/P}{dQ/Q} = \hat{b}, $$

para que nuestra beta $\hat{b}$ capta la variación de los precios de las acciones junto con el MRP

$$ \frac{dP/P - dX}{dQ/Q} = \hat{b}. $$

Esto da una estimación sesgada de $\hat{b}$ .

Mi pregunta es: ¿cómo conseguir la estimación de $\hat{b}$ ¿ajustado para el MRP?

Answer 1

definir $$ \text{RP}_t = \sum_{u< t} \frac{dP_u}{P_u}$$ $$ \text{RQ}_t =\sum_{u<t} \frac{dP_u}{P_u}$$ $X$ es un proceso de reversión media por lo que : $$ dX = \alpha (\mu - X)dt + \sigma dB $$ donde $B$ es un movimiento browniano

mientras tanto utilizando su relación se obtiene : $$ X_t = \text{RP}_t - b \text{RQ}_t - a t $$

usted utiliza $X$ dinámicas con esto y obtienes: $$\begin{split}\frac{dP}{P} &= a dt + b \frac{dQ}{Q} + dX \\ &= (a+\alpha\mu) dt + b \frac{dQ}{Q} - \alpha \text{RP} dt - \alpha b \text{RQ}_t dt - a\alpha t dt + \sigma dB \end{split}$$ ahora se encuentra en el caso de una regresión lineal multidimensional clásica