Intervalos de escala en el proceso de difusión

Question

Sé que es una pregunta muy elemental pero... al modelar los precios de los activos mediante un proceso estocástico como en

$$dS_t=S_t μ dt+S_t σdW_t,$$

donde el siguiente es un proceso wiener $$dW_t=σN(0,1)dt^{1/2}$$

¿cómo es la media $μ$ y la volatilidad $σ$ escala con el intervalo de tiempo $dt$ ?

Si estoy haciendo una previsión para 1 año en el futuro, en pasos de 1 día, $dt$ =1/250=.004

Pero ¿qué pasa si el parámetro medio que he calculado para $μ$ y $σ$ es para rendimientos diarios, ¿se mantendría la ecuación? es decir, tomo una 20SMA de los rendimientos de los últimos 20 días, por lo que mi rendimiento ya es diario. En toda la literatura que he leído $μ$ y $σ$ ya son anuales, lo que en mi caso no me sirve porque miro las rentabilidades diarias de los activos, no las anuales que se han reducido a diarias.

Answer 1

En primer lugar, su afirmación de que $dW_t=\sigma\,dt^{1/2}$ es incorrecto. De hecho, ni siquiera tiene sentido (se puede ver esto al notar que la expresión del lado izquierdo es un "incremento" del movimiento browniano, y por lo tanto aleatorio, mientras que la expresión del lado derecho es determinista). Lo que quieres decir es que $W$ es un movimiento browniano, y por tanto $\text{E}(W_t)=0$ y $\text{Var}(W_t)=t$ . O mejor, la variación cuadrática de $W$ es $<W>_t=t$ . Es importante recordar que el "incremento" $dW_t$ es simplemente una conveniencia notacional - no es realmente un concepto bien definido, ya que las trayectorias del movimiento browniano tienen una primera variación infinita.

Ahora, llegando a su pregunta, en los modelos de valoración de activos los parámetros $\mu$ y $\sigma$ se suelen especificar como el anual tasa de deriva y el anual la volatilidad. Si por el contrario, se ha estimado una tasa de deriva diaria $\mu_d$ y una volatilidad diaria $\sigma_d$ Entonces puede escalarlas de la siguiente manera $\mu=252\mu_d$ y $\sigma=\sqrt{252}\sigma_d$ donde utilizamos la convención de que un año contiene 252 días hábiles.

Saludos Hardy