Varianza de los rendimientos de una cartera

Question

Esto debe ser muy básico, pero parece que no soy capaz de expresar la varianza de los rendimientos de una cartera en términos de suma de varianzas-covarianza de los rendimientos de sus componentes, que parece ser lo que se utiliza en todas partes. Digamos que $Y(t)=\sum{n_i X_i(t)}$ donde $n_i$ es el número de acciones $i$ con precio $X_i$ . Definir un rendimiento relativo sobre $i$ -año constituyente a lo largo de un período $T$ como

$$r_i(t,t+T) = \frac{X_i(t+T)-X_i(t)}{X_i(t)}$$

Entonces la rentabilidad relativa de la cartera es

$$R_T = R(t,t+T) = \frac{Y(t+T)-Y(t)}{Y(t)} = \frac{1}{Y(t)}\sum{n_i X_i(t) r_i(t,t+T)}$$

Entonces

$$Var(R_T) = Var \left( \frac{1}{Y(t)}\sum{n_i X_i(t) r_i(t,t+T)} \right) $$

Esto se expresa a menudo como

$$ \sum w_iw_jCov(r_i,r_j)$$

pero como ambos $X(t)$ y $Y(t)$ también varían con el tiempo no veo cómo se hace esto.

Answer 1

Para estimar la covarianza entre los rendimientos de los valores $i$ y $j$ utilizando una muestra del tiempo $t=1$ a $T$ :

Paso 1: Calcular la rentabilidad de cada valor $i$ y cada periodo $t$

El retorno del tiempo $t$ a $t+1$ para la seguridad $i$ está dada por:

$$ R_{i,t+1} = \frac{P_{t+1} + D_{t+1}}{P_t}$$

donde $P_t$ denota el precio en el momento $t$ y $D_t$ es el tiempo $t$ valor de las distribuciones (por ejemplo, dividendos, distribuciones de acciones, etc.).

Normalmente, los proveedores de datos lo hacen por ti. Es muy importante que todo sea perfectamente correcto (p. ej., la exclusión de la lista de rendimientos, las distribuciones, etc.).

Paso 2: Calcular la media muestral de los rendimientos

Para la seguridad $i$ la media de la muestra viene dada por:

$$\bar{r}_i = \frac{1}{T} \sum_t r_{i,t}$$

Paso 3: Calcular la covarianza muestral de los rendimientos:

Para la seguridad $i$ y $j$ la covarianza de la muestra viene dada por:

$$ \hat{Cov}(r_i, r_j) = \frac{1}{T-1} \sum_t \left(r_{i,t} - \bar{r}_i \right) \left( r_{j,t} - \bar{r}_j \right)$$

Una nota sobre el recuento y la ponderación de las acciones:

Mantener un número constante de acciones implica que las ponderaciones de la cartera varían casi con toda seguridad de un periodo a otro.

Dejemos que $P_{i,t}$ sea el precio del valor $i$ y $n_i$ sea el número de acciones del valor $i$ . La ponderación de la cartera de valores $i$ en el momento $t$ está dada por:

$$ w_{i,t} = \frac{n_i P_{i,t}}{\sum_j n_j P_{j,t}}$$

Dado que los precios cambian casi con toda seguridad, las ponderaciones de la cartera también cambian casi con toda seguridad. (Una excepción es si la cartera está ponderada por el valor, en cuyo caso las ponderaciones seguirán siendo básicamente las mismas).