Valor en riesgo para v.r. normal con choque (regímenes)

Question

Me cuesta entender cómo se ha calculado este simple Valor en Riesgo. Es el ejemplo 1 en Daníelsson, Jón, et al. "Fat tails, VaR and subadditivity". Journal of econometrics 172.2 (2013): 283-291 (un borrador del cual se puede encontrar en este enlace ).

Los autores consideran una variable aleatoria $X_i$ definida como la suma de una variable aleatoria normal estándar y una variable aleatoria discreta (que es independiente de la normal).

He intentado obtener la distribución de $X_i$ considerando que se puede ver una mezcla de distribuciones gaussianas, con cada componente de la mezcla representando un "régimen", pero no llego al mismo valor que los autores (3.1).

Soy consciente de que se trata de un ejercicio muy básico, pero debo estar perdiéndome algo....

Gracias de antemano por cualquier sugerencia.

Answer 1

Se puede aproximar el pdf de la mezcla como: $$f_X(x) = 0.009 g(x+10) + 0.991 g(x)$$ para $g(x)$ el pdf de $\mathcal{N}(0,1)$

Se observará que como la desviación estándar es 1 casi toda la densidad atribuida al componente $g(x+10)$ es sobre el punto x=-10 y ciertamente para unas 7 desviaciones estándar de distancia sobre el punto x=-3,1 es efectivamente todo abarcado.

Por lo tanto, encontrar el VaR del 1% es equivalente a encontrar el VaR (1%-0,9%) de g(x), que es de hecho -3,09. Supongo que el autor ha redondeado.

=NORMINV(0.01-0.009,0,1) gives -3.0902 in excel

editar después de los comentarios

Si los números no estuvieran obviamente sesgados en este caso, entonces tendrías esencialmente la ecuación:

$$ 0.009 * \Phi(\alpha + 10) + 0.991 * \Phi(\alpha) = 1\% $$ para $\Phi$ la función de distribución asociada a g(x). Su tarea consiste en resolver para $\alpha$ para el que no creo que exista una solución analítica y habría que utilizar un procedimiento iterativo. La estimación anterior fue esencialmente una iteración ya que el problema se prestaba muy bien al escenario. (Y, de hecho, ten en cuenta que a partir de esta fórmula explícita puedes ver que cometí un error al no dividir por 0,991: -3,0902 / 0,991 = -3,118, que sigue redondeado a -3,1)