Ecuación de Black Scholes a Heat - Sustitución

Question

Lo siento, es una pregunta muy básica. En el capítulo 8 de Wilmott se introduce Q Las finanzas de la ecuación BS se transforman en la ecuación del calor. En primer lugar, utilizando $V(S,t) \rightarrow \mathrm{e}^{-r(T - t)}U(S,t)$ y luego $\tau = T - t$

Resultando en: $$\frac{\partial U}{\partial \tau} = \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2U}{\partial \xi^2} + (r - \frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial U}{\partial \xi}$$

El cambio final de las variables utilizadas es $x = \xi + (r - \frac{1}{2}\sigma^2)\tau$ lo que da lugar a la ecuación del calor en términos de $x$ y $\tau$ .

¿Podría alguien decirme cómo exactamente este cambio de variable reduce la ecuación anterior a la ecuación del calor? Parece que estoy obteniendo $\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = 0$ . Después de aplicar la regla de la cadena para cada uno de los términos.

Answer 1

La formulación inicial de la ecuación de Black-Scholes que se encuentra en la pregunta de la OP:

$$\frac{\partial U}{\partial \tau} = \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 U}{\partial \xi^2} + \left(r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \frac{\partial U}{\partial \xi}$$

Se demostrará que esto es equivalente a la ecuación del calor (la EDP parabólica) tras un cambio de coordenadas $(\xi, \tau) \rightarrow (x, \tau)$ definido como:

$$\begin{align} x &= \xi + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \tau\\ \tau &= \tau \end{align}$$

El uso de la regla de la cadena aclara cómo cambian las primeras derivadas al pasar de un conjunto de coordenadas a otro:

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \xi (x, \tau)} (*) &= \overbrace{\frac{\partial x}{\partial \xi}}^{= 1} \frac{\partial}{\partial x} (*) + \overbrace{\frac{\partial \tau}{\partial \xi}}^{= 0} \frac{\partial}{\partial \tau} (*)\\ \frac{\partial}{\partial \tau (x, \tau)} (*) &= \underbrace{\frac{\partial x}{\partial \tau}}_{= r - \frac{1}{2} \sigma^2} \frac{\partial}{\partial x} (*) + \underbrace{\frac{\partial \tau}{\partial \tau}}_{= 1} \frac{\partial}{\partial \tau} (*) \end{align}$$

La derivada de segundo orden $\frac{\partial^2}{\partial \xi^2 (x, \tau)}$ también debe ser evaluado. Visto desde arriba que $\frac{\partial}{\partial \xi (x, \tau)} = \frac{\partial}{\partial x}$ esto es fácil:

$$\frac{\partial^2}{\partial \xi^2 (x, \tau)} (*) = \frac{\partial}{\partial \xi} \left( \frac{\partial}{\partial \xi} (*) \right) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} (*)$$

Aplicando las anteriores reformulaciones de $\frac{\partial}{\partial \xi (x, \tau)}$ , $\frac{\partial}{\partial \tau (x, \tau)}$ y $\frac{\partial^2}{\partial \xi^2 (x, \tau)}$ a la ecuación de Black-Scholes elimina el término de la derivada de primer orden y da lugar a la clásica ecuación del calor:

$$\begin{align} \require{cancel}\cancel{\left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \frac{\partial U}{\partial x}} + \frac{\partial U}{\partial \tau} &= \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \cancel{\left(r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \frac{\partial U}{\partial x}} \qquad \qquad \Longrightarrow\\ \Longrightarrow \qquad \qquad \frac{\partial U}{\partial \tau} &= \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \end{align}$$