Una pregunta sobre el ejercicio 3.D.4 del MWG

Question

Estoy haciendo ejercicios del capítulo 3 de MWG, hay un problema que no entiendo (tampoco he entendido el manual de soluciones...).

Se trata del ejercicio 3.D.4, cuyo enunciado completo es el siguiente

Dejemos que $(-\infty,\infty)\times R_+^{L-1}$ denota el conjunto de consumo, y se supone que las preferencias son estrictamente convexas y cuasilineales. Normalicemos $p_1=1$ .

(a) Demuestre que las funciones de demanda walrasiana de bienes $2,...,L$ son independientes de la riqueza. ¿Qué implica esto sobre el efecto riqueza de la demanda del bien 1?

(b) Argumente que la función de utilidad indirecta puede escribirse de la forma $v(p,w)=w+\Phi(p)$ para alguna función $\Phi(·)$ .

(c) Supongamos, para simplificar, que $L=2$ y escribir la función de utilidad del consumidor como $u(x_1,x_2)=x_1+\eta(x_2)$ . Ahora, sin embargo, dejemos que el conjunto de consumo sea $R_+^2$ para que haya una restricción no negativa en el consumo del numerario $x_1$ . Precios fijos $p$ y examinar cómo cambia la demanda walrasiana del consumidor a medida que la riqueza $w$ varía. ¿Cuándo es irrelevante la restricción de no negatividad del numerario?

Mi pregunta es sobre la parte (c): 1. ¿qué significa? 2. ¿Alguien puede explicar la solución?

La solución a (c) (del manual de soluciones) es:

La restricción de no negatividad es vinculante si y sólo si $p_2x_2(p,0)>w$ . Tenga en cuenta que $x_2(p,0)=(\eta')^{-1}(p_2)$ porque $p_1=1$ . Por tanto, la restricción es vinculante si y sólo si $p_2(\eta')^{-1}(p_2)>w$ . Si es así, la demanda walrasiana viene dada por $x(p,w)=(0,w/p_2)$ . Así, como $w$ cambia, el nivel de consumo del primer bien no cambia y el consumo del segundo bien cambia a la tasa $1/p_2$ con $w$ hasta que la restricción de no negatividad deje de ser obligatoria.

Answer 1

1. En el problema original, para $L=2$ el conjunto de consumos era $(-\infty,\infty) \times \mathbb{R}_{+}$ . Ahora, el consumidor está limitado a $[0,\infty)\times \mathbb{R}_{+} = \mathbb{R}_{+}^2$ . Fijar un precio $p = (1,p_2)$ y ahora veamos qué ocurre con la demanda walrasiana (es decir $x(p,w) = (x_1,x_2))$ al variar $w$ .

2. En la parte (a) has visto que un consumidor con estas preferencias consume en el siguiente orden.

   (i) Gastar todo el dinero en la buena 2 hasta llegar a $x_2(p,0)$ (ya que la cantidad de bien 2 demandada es independiente de $w$ ).

   (ii) Si te sobra dinero, gástalo en el bien 1 (es decir $x_1(p,w) \geq 0$ ). En caso contrario, para equilibrar el presupuesto, se consumen cantidades negativas del bien 1 (es decir $x_1(p,w) < 0$ ).

Fijemos ahora $p = (1,p_2)$ . Ahora bien, no podemos hacer el caso (ii) cuando has gastado de más en el bien 2. Sólo se puede gastar de más cuando: $$p_2 \times x_2(p,0) > w$$

Utilizando la habitual tasa marginal de sustitución igual a la relación de precios, tenemos: $$ \frac{\eta'(x_2)}{1} = \frac{p_2}{1} $$ Por lo tanto, $$x_2(p,0) = \eta'^{-1}(p_2)$$

Volviendo a la primera ecuación, $p_2\times \eta'^{-1}(p_2) > w$ .

Como gasta todo su dinero en el bien 2, la restricción presupuestaria $$x_1(p,w) + p_2 x_2(p,0) = w$$ se convierte en $$p_2 x_2(p,0) = w$$ o $$x_2(p,0) = \frac{w}{p_2}$$

Por lo tanto, su demanda walrasiana (hasta $p_2\times \eta'^{-1}(p_2) > w$ ) es $$x(p,w) = (0,\frac{w}{p_2})$$ Y una vez $w$ es lo suficientemente grande como para que $p_2\times \eta'^{-1}(p_2) \leq w$ , $$x(p,w) = (w - x_2(p,0),x_2(p,0))$$

EDIT: Probemos una forma diferente de obtener la respuesta utilizando el enfoque del cálculo.

Nuestro nuevo problema de maximización es: \begin {align*} \max_ {x_1,x_2} \N -, &x_1 + \eta (x_2) \\ \text {s.t. } &x_1 + p_2 x_2 = w & \text { (Restricción presupuestaria)} \\ &x_1 \geq 0 & \text { (Restricción de no negatividad) } \end {align*} Pongo igualdad en la restricción presupuestaria porque asumo monotonicidad. El lagrangiano asociado es $$ \mathcal{L} = x_1 + \eta(x_2) + \lambda(w - x_1 - p_2 x_2) + \mu(x_1) $$ Tomando las condiciones de primer orden: $$ 1 - \lambda + \mu = 0 \\ \eta'(x_2) - p_2\lambda = 0 $$ Ahora, supongamos que la restricción de no negatividad no ata (es decir $x_1 > 0$ ). Entonces, por holgura complementaria, $\mu = 0$ , lo que implica $\lambda = 1$ y $x^*_2 = \eta'^{-1}(p_2)$ . Podemos ver claramente que la elección óptima de $x_2$ no depende de $w$ en absoluto cuando la restricción no es vinculante.

Ahora, supongamos que la restricción de no negatividad no se une (es decir $x_1 = 0$ ). Utilizando la restricción presupuestaria, $0 + p_2x_2 = w$ Por lo tanto $x_2 = \frac{w}{p_2}$ .

Por último, ¿cuándo importa la restricción de no negatividad? Sólo importa cuando queramos establecer $x_1 < 0$ . De nuevo, utilizando la restricción presupuestaria, $$ 0 > x_1 = w - p_2x_2^* = w - p_2 \eta'^{-1}(p_2) \Leftrightarrow w < p_2 \eta'^{-1}(p_2) $$

Por lo tanto, cuando $w < p_2 \eta'^{-1}(p_2)$ la restricción se une a así $x_1 = 0$ y $x_2 = \frac{w}{p_2}$ .

Cuando $w \geq p_2 \eta'^{-1}(p_2)$ la restricción no ata así $x_2 = \eta'^{-1}(p_2)$ y $x_1 = w - \eta'^{-1}(p_2) \geq 0$ .