Cambio en el ahorro óptimo debido al aumento del riesgo

Question

Actualmente estoy elaborando microproblemas avanzados que tratan sobre el comportamiento óptimo del ahorro de los hogares. Aunque creo que entiendo bastante bien el material, no estoy seguro del detalle específico de la solución del siguiente problema (abreviado).

Dejemos que $u: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, c_i \mapsto c_i^2$ sea la función de utilidad (de consumo) para los dos períodos de tiempo $i \in \{1,2\}$ . Supongamos que los ingresos $y_2$ es arriesgado con el riesgo representado como $\beta$ y $\beta$ siendo un diferencial que preserva la media. ¿Qué se puede decir sobre el cambio en el ahorro óptimo si $\beta$ ¿aumenta?

Mi pensamientos sobre esto son los siguientes. Lo que buscamos aquí es el signo de $$\frac{ds^*}{d\beta}$$

donde $s^*$ denota un ahorro óptimo. En la conferencia mostramos que su signo sólo depende del signo de $$K = \frac{d\mathbb{E}[u']}{d\beta}$$ Desde $\beta$ es una extensión que preserva el significado, entonces dijimos que el signo de $K$ sólo depende del signo de $u'''$ es decir, que $K < 0$ si $u''' < 0$ y viceversa, pero omitimos el caso $K = 0$ . Pero como $u(c_i) = c_i^2$ es $u''' = 0$ .

Mi preguntas son por lo tanto

1. ¿Cuál es la conclusión si $u''' = 0$ ? ¿Es lo mismo que el caso positivo (> 0)?

2. ¿Por qué exactamente, si $\beta$ es un MPS, sólo hay que preocuparse por la segunda derivada del argumento para determinar el signo de la expectativa?

Answer 1

Su pregunta se refiere esencialmente al ahorro por precaución, es decir, a la respuesta del ahorro al riesgo.

Lo que determina el ahorro precautorio es el coeficiente de prudencia relativa: $CRP=-\frac{U'''}{U''}C$ , donde $U$ es la función de utilidad, $C$ es el consumo y los primos denotan las derivadas. Como en economía siempre tenemos utilidad marginal decreciente, es decir $U''<0$ entonces el signo del ahorro dependerá del signo de la tercera derivada, como has mencionado.

Piense en este coeficiente como algo similar a los coeficientes de aversión al riesgo. La diferencia es que la prudencia significa que los agentes actúan en previsión del riesgo ahorrando más, mientras que la aversión al riesgo refleja cómo reaccionan los agentes cuando se enfrentan al riesgo.

Con la utilidad cuadrática, el coeficiente de prudencia relativa es cero y no hay ahorro por precaución. Por lo tanto, no hay ningún efecto del riesgo sobre el ahorro. Con dicha utilidad tenemos, por tanto, la equivalencia de certidumbre, que es bastante conveniente y, por tanto, se utiliza a menudo. Los diferenciales de conservación de la media no importan entonces. Así que no, no es lo mismo que en el caso positivo, donde el ahorro subiría en resonancia con el riesgo.

Lo que es crucial aquí, como has señalado, es la tercera derivada. El coeficiente realmente sólo utiliza la segunda derivada como normalización.

Un diferencial que preserva la media mantiene el mismo valor medio/esperado del consumo. Sin embargo, no mantiene necesariamente las derivadas (utilidad marginal), que son las que importan para las decisiones (de ahorro). Si la utilidad marginal es lineal (utilidad cuadrática), un diferencial que preserva la media mantiene también las utilidades marginales esperadas. Por lo tanto, en ese caso no hay ahorro por precaución (no hay reacción).

Si las utilidades marginales son convexas, entonces el diferencial que preserva la media cambia las cosas de manera importante, es decir, se vuelve beneficioso ahorrar más. Esto se deduce de la desigualdad de Jensen. Si es cóncava, ocurre lo contrario. Por lo tanto, la función relevante que hay que observar es $U'$ ya que así es como el agente toma decisiones. Cuando queremos ver si una función es convexa o cóncava nos fijamos en la segunda derivada. Así, la segunda derivada de $U'$ es $U'''$ por lo que la tercera derivada es importante aquí.