La frontera eficiente de media-varianza mantiene la cartera de varianza mínima pero en el gráfico anterior se muestra que el VaR mínimo (valor en riesgo) y carteras mínimas de ES (CVaR) (expected shortfall/conditional VaR) se encuentran y comparten la misma frontera que la cartera de varianza mínima.
Sin embargo, pensé (y he visto en artículos) que hay fronteras único para el media-VaR y fronteras eficientes media-ES ? ¿Qué es lo correcto?
Cuando los rendimientos siguen una distribución elíptica (por ejemplo, la distribución gaussiana), entonces minimizar el VaR y ES es equivalente a minimizar la varianza. Véase https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/pitfalls.pdf . Entonces, las fronteras serán las mismas.
Esto es un resultado del teorema de separación de dos fondos o teorema de separación de los fondos de inversión . Cualquier elección de cartera (óptima) tendrá lugar en la frontera eficiente. En un mundo Markowitziano, el universo de activos está totalmente caracterizado por los primeros y segundos (co)momentos. Por lo tanto, para cualquier medida de rendimiento, siempre se podrá obtener "más rendimiento con un riesgo determinado" o "menos riesgo con un rendimiento determinado" simplemente moviendo la cartera hacia la frontera eficiente. Las métricas VaR y ES son (simplemente) combinaciones de la media y el riesgo de la cartera: por lo tanto, también pueden mejorarse "moviéndose hacia la izquierda/arriba".
Sin embargo, lo que se puede observar es una diagrama representando la rentabilidad media frente al VaR, o la rentabilidad media frente al ES. Pueden parecer diferentes.
Si seguimos la estrategia de optimización de ptf de riesgo medio y utilizamos la varianza/VaR/ES como medida de riesgo, los resultados en general son diferentes. En otras palabras, el frontera eficiente no se comparten . Sin embargo, como ya dijo Enrico Schumann, si la distribución multivariante de los rendimientos de los activos es Elíptica (con varianza finita) la frontera es compartida. Obsérvese que la clase de distribuciones elípticas incluye la Normal pero es mucho más general, entre otras incluye la distribución t-student.
El gráfico anterior puede tener sentido sólo en el caso elíptico, sin embargo me parece extraño todavía.
En el caso elíptico se comparte toda la frontera y también el punto de riesgo mínimo global. En el gráfico se indican tres puntos/carteras separados en la frontera; ¿qué significan los puntos mínimos de VaR/ES? Estos dos puntos no tienen mucho sentido. También se pueden etiquetar como varianza media mínima. De hecho, en la línea horizontal se utiliza la desviación estándar. En los mismos puntos se alcanza el mínimo VaR y/o ES, pero el gráfico me parece engañoso.
Además en la fuente, antes del gráfico, se dice que:
En este capítulo formulamos y resolvemos el modelo de cartera media-CVaR, donde el riesgo de covarianza se sustituye ahora por el valor en riesgo condicional como medida de riesgo. A diferencia del problema de optimización de la cartera de media-varianza ya no asumimos la restricción consistente en en que el conjunto de activos tenga una distribución multivariante de contorno elíptico elíptica multivariante.
En este caso es casi imposible que las soluciones media-VaR y/o media-ES se compartan con la media-varianza; los puntos media-VaR y/o media-ES deben quedar por debajo de la frontera de la media-varianza. Entonces concluyo que el gráfico es erróneo.
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