Modelo FX Hull-White

Question

Un modelo para FX, presentado en Modelos de tipos de interés El modelo de la empresa, que se basa en el modelo de Brigo y Mercurio (2006), tiene la siguiente dinámica: \begin {align} dr_t^d&= \lambda_d ( \theta_d (t)-r_t^d)dt+ \eta_d dW_t^d \\ dr_t^f&= [ \lambda_d ( \theta_d (t)-r_t^d)- \eta_f\rho_ {S,f} \sigma ]dt+ \eta_f dW_t^f \\ \frac {dS_t}{S_t}& =(r_t^d-r_t^f)dt + \sigma dW_t^S \end {align} donde $S_t$ es el tipo de cambio al contado, los movimientos brownianos se definen bajo la medida doméstica y $\rho_{S,f}$ es la correlación instantánea de $W_t^S$ y $W_t^f$ .

La paridad de interés cubierta viene dada por el argumento de no arbitraje, por lo que el tipo de cambio a plazo es $F_t(T)=S_t\frac{P_t^f(t,T)}{P_t^d(t,T)}$ con $P_t(t,T)$ los precios de los ZCB.

¿El modelo también respeta la paridad de intereses sin cobertura?

$$E_t[S_T]=?F_t(T)$$

Answer 1

Dejemos que $K$ sea el tipo de cambio a plazo determinado en el momento $t$ para la madurez $T$ . Entonces el pago en el momento $T$ viene dada por $S_T-K$ que tiene valor cero en el momento $t$ . Sea $Q$ y $Q^f$ son las respectivas medidas neutrales al riesgo nacionales y extranjeras, y $E^Q$ y $E^{Q^f}$ sean los correspondientes operadores de expectativa. Además, dejemos que $B^d_T = e^{\int_0^t r^d_sds}$ y $B^f_T = e^{\int_0^t r^f_sds}$ son los valores respectivos de las cuentas del mercado monetario nacional y extranjero en el momento $t$ . Entonces, \begin {align*} B^d_tE^Q \left ( \frac {S_T-K}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right ) = 0. \end {align*} Es decir, \begin {align*} K = \frac {B^d_tE^Q \left ( \frac {S_T}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right )}{E^Q \left ( \frac {B^d_t}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right )}= \frac {B^d_tE^Q \left ( \frac {S_T}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right )}{P^d(t, T)}. \tag {1} \end {align*} Dejemos que $Q^T$ sea el doméstico $T$ -medida de avance y $E^{Q^T}$ sea el operador de expectativa correspondiente. Entonces \begin {align*} \frac {dQ}{dQ^T} \big |_{[t, T]} = \frac {B^d_T}{B^d_tP^d(t, T)}. \end {align*} De $(1)$ , \begin {align*} K &= \frac {B^d_t E^Q \left ( \frac {S_T}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right )}{P^d(t, T)} \\ &=E^{Q^T}(S_T \mid \mathcal {F}_t). \end {align*} Es decir, \begin {align*} E^{Q^T}(S_T \mid \mathcal {F}_t) = F_t(T). \end {align*} Por otro lado, observamos que \begin {align*} \frac {dQ}{dQ^f} \big |_{[t, T]} = \frac {B^d_TB^f_t S_t}{B^f_T B^d_tS_T}. \end {align*} Entonces \begin {align*} E^Q \left ( \frac {S_T}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right ) &= E^{Q^f} \left ( \frac {B^d_TB^f_t S_t}{B^f_T B^d_tS_T} \frac {S_T}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right ) \\ &= \frac {S_t}{B^d_t}E^{Q^f} \left ( \frac {B^f_t}{B^f_T} \mid \mathcal {F}_t \right ) \\ &= \frac {S_t}{B^d_t}P^f(t, T). \end {align*} Además, a partir de $(1)$ , \begin {align*} K &= \frac {B^d_t E^Q \left ( \frac {S_T}{B^d_T} \mid \mathcal {F}_t \right )}{P^d(t, T)} \\ &=S_t \frac {P^f(t, T)}{P^d(t, T)}. \end {align*} Es decir, \begin {align*} E^{Q^T}(S_T \mid \mathcal {F}_t) = F_t(T) = S_t \frac {P^f(t, T)}{P^d(t, T)}. \tag {2} \end {align*}

Sin embargo, observamos que, con los tipos de interés estocásticos, generalmente, \begin {align*} E^{Q}(S_T \mid \mathcal {F}_t) \ne F_t(T). \end {align*}

$$$$ As OP has already pointed out, Fromula $ (2) $ can also be shown by no arbitrage argument. Specifically, at time $ t $, while entering a forward contract with forward exchange rate $ F_t(T) $, we borrow one unit domestic currency (which can be used to buy $\frac {1}{P^d(t, T)} $ units domestic zero-coupon bond with maturity $ T $), convert into $\frac {1}{S_t} $ units foreign currency, and buy $\frac {1}{S_t P^f(t, T)} $ units foreign zero-coupon bond with maturity $ T$. El valor neto de esta estrategia comercial es cero.

Al vencimiento $T$ en moneda nacional, la estrategia de negociación anterior tiene valor $$F_t(T)\frac{1}{S_tP^f(t, T)}-\frac{1}{P^d(t, T)},$$ que también debería tener valor cero. Es decir, \begin {align*} F_t(T) &=S_t \frac {P^f(t, T)}{P^d(t, T)}. \end {align*}