Modelo de Bachelier VS Black Scholes en la valoración de las opciones de compra. ¿Por qué son tan diferentes?

Question

He estado trabajando con el modelo de Bachelier durante algunos días, pero cuando experimenté con el modelo vi algunos resultados no deseados con enormes diferencias del modelo de Black Scholes. El modelo de Bachelier se describe en detalle aquí: Fórmula de valoración de las opciones de compra del modelo de Bachelier

He aquí un experimento numérico: Sin tipo de interés; $\sigma=0.15$ para ambos modelos.

En el momento 0 quiero fijar el precio de una llamada europea ATM con $T=1$ y la huelga $K=55$ cuando $S_0=55$

El resultado de la BS: $C=3.29$

El resultado de Bachelier: $C=0.06$

¿Por qué hay una brecha tan grande? He intentado darle sentido simplemente mirando los modelos, pero es complicado con las FCD y las FDP. El modelo de Bachelier tiene una distribución normal y el modelo de BS tiene una distribución log-normal. ¿Podemos usar esto para explicar la gran diferencia afirmando que los dos procesos son muy diferentes con la misma constante de volatilidad? $\sigma$

La función de fijación de precios de no arbitraje para el modelo de Bachelier con tipo cero se puede buscar en muchos sitios: $$ C_t = (S_t-K)*\Phi((S_t-K)/u)+v_t*\phi((S_t-K)/u) $$ donde $u = \sigma \sqrt{T-t}$

Answer 1

Combinando los comentarios:

Usted utilizó $\sigma=0.15$ para ambos modelos. Eso no es correcto, las dos sigmas se definen de forma diferente. $\sigma$ para BS es en términos porcentuales, $\sigma$ para Bachelier es en términos de dólares.

Así que la volatilidad equivalente en Bachelier es $0.15 \times 55 = 8.25$ donde 55 es el precio original de las acciones.