En Capital por Thomas Pikketty, https://www.robertdkirkby.com/blog/2015/summary-of-piketty-i/ El autor afirma que la Primera y la Segunda Guerra Mundial fueron las principales razones por las que se redujo la relación entre las rentas del capital y las del trabajo.
Sin embargo, por qué es así si dos guerras mundiales conducen a la destrucción del capital. ¿Seguro que el capital restante es más valioso? Y posiblemente haya más mano de obra para atenderlo relativamente que en el pasado.
Las opciones de compra de precio variable tienen gamma cero sólo en el día en que se emite (y sólo asumiendo un modelo homogéneo para el subyacente). Después tiene gamma no cero .
El pago al vencimiento $T$ es: $$ \text{payoff} = S_T - \min \{S_u | u \in [0, T]\} $$ Ahora suponga que su modelo para el subyacente es homogéneo con grado 1, es decir, cuando se ve desde $t$ , $S_u$ para $u \geq t$ es proporcional a $S_t$ . Por supuesto, este es el caso cuando el modelo es un movimiento browniano geométrico como en Black & Scholes.
En $t=0$ , $$ E_0[\text{payoff}] = E_0[S_T] - E_0[\min \{S_u | u \in [0, T]\}] = S_0 E_0[S_T/S_0] - S_0 E_0[\min \{S_u/S_0 | u \in [0, T]\}] $$ Desde $S_T/S_0$ y $S_u/S_0$ no dependen de $S_0$ , $E_0[\text{payoff}]$ es lineal en $S_0$ y la opción tiene gamma cero .
En $t>0$ , $$ E_t[\text{payoff}] = E_t[S_T] - E_t[\min \{S_u | u \in [0, T]\}] = E_t[S_T]- E_t[\min\{m_t, \min \{S_u | u \in [t, T]\}\}] $$ en el que el mínimo de funcionamiento $m_t = \min\{S_u | u \in [0, t]\}$ ya es conocido. Ahora $$ E_t[\text{payoff}] = S_t E_t[S_T/S_t] - S_t E_t[\min\{m_t/S_t, \min \{S_u/S_t | u \in [t, T]\}\}] $$ Como puede ver, el segundo término del lado derecho ya no es proporcional a $S_t$ porque $m_t/S_t$ depende de $S_t$ . Por lo tanto, $E_t[\text{payoff}]$ ya no es lineal en $S_t$ y la opción tiene gamma no cero .
En términos prácticos, esto significa que debe considerar el precio de la opción como una función de $S_t$ y $m_t$ Es decir $C(S, m, t)$ . Cuando se calcula la gamma se calcula $\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S, m, t)$ . Cuando se aproxima la gamma utilizando diferencias finitas se calcula $$ (C(S+\epsilon, m, t) + C(S-\epsilon, m, t) - 2 C(S, m, t))/\epsilon^2 $$ que es lo que se mueve $S$ por $\pm \epsilon$ pero no cambias $m$ .
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