El valor del precio de las acciones como proceso estocástico en tiempo continuo

Question

Estoy estudiando un libro de texto de matemáticas sobre la modelización de sistemas estocásticos. El libro de texto utiliza el precio de una acción como ejemplo de proceso estocástico en tiempo continuo: Si $X(t)$ es el valor de una acción en el momento $t$ entonces $\{ X(t), t \ge 0 \}$ es un proceso estocástico de tiempo continuo con un espacio de estados $[0, \infty)$ . Pero en realidad, los valores de las acciones son múltiplos enteros de $0.01$ . Entonces, ¿significa esto que los valores de las acciones son ejemplos de tiempo continuo procesos estocásticos, pero tienen un discreto ¿espacio de estado? ¿Estoy interpretando esto correctamente?

Agradecería que la gente se tomara la molestia de aclarar esto.

Answer 1

Sí y no. Es evidente que los precios de las acciones (o los precios de cualquier activo) no se observan continuamente. Esto se aplica tanto a la dimensión del valor (precio) como a la dimensión temporal.

Sin embargo, esto no significa que no podemos modelo precios de las acciones como un proceso continuo en el tiempo y el espacio. A menudo, los enfoques continuos en el tiempo y el espacio son más elegantes y producen resultados más agradables. Además, los modelos continuos suelen ser límites de los modelos discretos. De todos modos, la aplicación de los modelos continuos requiere discretizar el modelo (porque sólo se dispone de conjuntos de datos discretos y los ordenadores sólo pueden trabajar con conjuntos discretos).

Por cierto, podemos registrar los precios con mayor precisión que los céntimos o los peniques. Fíjese en las divisas que se pueden negociar con una retícula más fina y podríamos (técnicamente) utilizar particiones finas arbitrarias del eje real positivo. Pero sí, nunca se puede observar que una acción cotice a \$ $\pi$ . Pero los modelos son simplemente más fáciles y agradables si se permite una gama continua.

Si considera que los precios de las acciones son un proceso continuo que simplemente registramos de forma discreta o si cree que los precios de las acciones son objetos discretos que simplemente modelamos de forma continua es casi una cuestión filosófica.

He aquí algunos ejemplos:

• Tiempo discreto, espacio de estado discreto

Paseo aleatorio simple

• Tiempo discreto, espacio de estado continuo

Paseo aleatorio gaussiano

• Tiempo continuo, espacio de estado discreto

Proceso de Contingencia de Poisson

• Tiempo continuo, espacio de estado continuo

Movimiento browniano