Estimación empírica de la PTF

Question

Supongamos que la función de producción tiene una forma Cobb-Douglass: $$Y=A\times K^\alpha\times L^\beta,$$ donde $Y$ es la producción (PIB), $A$ es la productividad total de los factores y $L$ es el trabajo. Al linealizar la función de producción tenemos: $$y=a+\alpha k+\beta l,$$ donde $y=log(Y)$ , $k=log(K)$ y $l=log(L)$ . Por lo tanto, el modelo que estimamos empíricamente puede escribirse como $$y_t=a+\alpha k_t+\beta l_t+\epsilon_t,$$ donde $\epsilon$ es el término de error. Supongamos que aplicando OLS tenemos los parámetros estimados, es decir $\widehat{a}$ , $\widehat{\alpha}$ y $\widehat{\beta}$ .

Pregunta Sólo $\widehat{a}$ consulte $TFP$ o el $TFP=\widehat{a}+\epsilon$ ? Hasta donde yo sé, $\epsilon$ también se denomina residuo de Solow. Por favor, explique.

Gracias.

Answer 1

La productividad total de los factores (PTF) sería $a+\epsilon_t$ donde $a$ es la PTF media y $\epsilon_t$ (donde el residuo de Solow es técnicamente $\Delta \epsilon$ ) nos indica cómo varía la PTF a lo largo del tiempo. Me explico:

En primer lugar, el $A$ también debería ser función del tiempo en el modelo de series temporales, ya que la tecnología puede cambiar (dudo que quieras imponer la restricción de que la tecnología tiene que ser constante y, si es así, tener un residuo variable en el tiempo no tendría sentido), por lo que en realidad la función de producción debería tener este aspecto:

$$Y_t = A_t K_t^{\alpha} L_t^{\beta}$$

Por lo tanto, la linealidad logarítmica nos daría:

$$y_t = a_t + \alpha k_t + \beta l_t,$$

donde la letra minúscula denota troncos $\ln X =x$ . Ahora bien, cuando se comete un error es en la especificación de su OLS. El $a_t$ en realidad es el residuo. Como sólo podemos observar $k_t$ y $l_t$ no podemos incluir $a_t$ en la regresión y será el residuo porque se puede calcular como

$$y_t - \alpha k_t - \beta l_t = a_t, a_t \equiv TFP$$

Así que en realidad $a_t$ es el residuo $\epsilon_t$ . Así que la especificación sería:

$$y_t = \alpha k_t + \beta l_t + \epsilon_t.$$

Sin embargo, la especificación anterior es innecesariamente restrictiva, ya que obliga a la PTF a tener una media 0 (aunque siempre podemos reescalar cualquier variable para que tenga una media cero, esto podría sesgar $\hat{\alpha}$ y $\hat{\beta}$ ). Como resultado podemos añadir un término constante $\beta_0$ a la regresión anterior.

$$y_t = \beta_0+ \alpha k_t + \beta l_t + \epsilon_t.$$

En este caso, la PTF ( $\ln A_t$ ) sería $\ln A_t = \beta_0+ \epsilon_t$ donde $\beta_0$ representa la productividad media de los factores y $\epsilon_t$ sería la desviación de la media en el tiempo (véase Van Beveren, I. (2012). Estimación de la productividad total de los factores: Una revisión práctica y las fuentes citadas en él - la fuente habla de aplicaciones de datos de panel, pero creo que la explicación básica se mantiene incluso en series temporales puras, incluso si las series temporales tienen sus propios problemas que requieren atención). Además, como se mencionó al principio, si se quiere suponer que la PTF es constante $A_t=A$ entonces $\epsilon_t=0, \forall t$ .

Por último, el residuo de Solow se define en términos de crecimiento, por lo que en realidad es $\Delta \ln A_t = \beta_0 +\epsilon_t - (\beta_0 + \epsilon_{t-1}) = \Delta \epsilon_t$ El crecimiento de la productividad se define como el residuo de Solow (ver Barro & Sala-i-Martin Economic Growth 2nd ed. pp 434-435).

P.D.: si realmente vas a realizar las estimaciones sobre una serie temporal debes tener en cuenta que lo más probable es que todas las series sean $I(1)$ y estimar todo el modelo en primeras diferencias donde la interpretación de la constante sería la tasa media de crecimiento de la PTF. En lo anterior no he explorado esta cuestión para evitar añadir innecesariamente más confusión.