La pregunta se refiere al conocido Ross (1976) con la derivación de la Teoría del Precio de los Activos.
En el APT, el rendimiento del activo $i$ se rige por un modelo factorial lineal:
$$ R_i = \alpha_i + \sum_{j=1}^m \beta_i^j \mathcal{F}_j + \varepsilon_i $$ donde $\alpha_i$ es la intercepción, $\beta_i^j$ es la sensibilidad del activo $i$ al factor $j$ (la carga del factor) y $\mathcal{F}_j$ es el valor del factor $j$ . $\varepsilon_i$ es el riesgo idiosincrático del activo $i$ .
Ahora lo que quiero derivar es ( $R_f$ es el tipo libre de riesgo)
$$ \pi_i := \mathbb{E} R_i - R_f = \sum_{j=1}^m\beta_i^j \pi(\mathcal{F}_j) $$
donde $\pi(\mathcal{F}_j) = \mathbb{E}\mathcal{F}_j - R_f$ . Como su nombre indica, esto se hace mediante un argumento de no arbitraje y el resultado significa que las primas de riesgo de los activos están determinadas por las primas de riesgo de los factores a través de las cargas de los factores $\beta_i^j$ .
En el documento el autor asume que para una cartera de arbitraje $x$ con ponderaciones de activos $x_i$ , $\sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i \approx 0$ por la ley de los grandes números si el $\varepsilon_i$ son "suficientemente independientes para que se cumpla la ley de los grandes números". Traducido, esto significa básicamente que la cartera de arbitraje no muestra ningún riesgo idiosincrático sustancial.
Entonces, el autor procede que la exposición neta a los factores de una cartera de arbitraje debe ser $0$ : $ \sum_{i=1}^n x_i \beta_i^j = 0$ y que la cartera de arbitraje no utiliza ningún capital $ \sum_{i=1}^nx_i = 0$ .
Luego continúa con la derivación (que termina en un argumento de álgebra lineal y finalmente en las ecuaciones APT).
Pregunta
La pregunta es ¿por qué necesita el autor la ley de los grandes números? ¿No supone implícitamente que el número de $n$ ¿los activos son grandes? ¿No sería mejor asumir que para una cartera de arbitraje $\sum_{i=1}^n x_i\varepsilon_i=0$ ?
Creo que la respuesta está de alguna manera ligada a la pregunta: Si la relación lineal entre las primas de riesgo de los factores y las primas de riesgo de los activos NO se mantiene, ¿significa esto que hay una cartera de arbitraje? (en el sentido de que $\sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i=0$ )
(La pregunta surgió del Anexo A1 de este documento aquí donde los autores no dan detalles al respecto).
