Cuasi Monte Carlo y puente browniano (cómo combinarlos)

Question

Estoy tratando de entender cómo se pueden combinar el cuasi Monte Carlo (QMC) y el puente browniano (BB) para fijar el precio de un activo, pero me cuesta entender cómo. Estoy considerando una opción europea sobre un solo activo modelado por una simple SDE escalar $S_t=a(S_t,t)\mathrm{d}t+b(S_t,t)\mathrm{d}W_t$ . Esto es lo que he entendido hasta ahora.

1. En la aproximación habitual de Euler-Maruyama, discretizamos utilizando la  $\hat{S}_{t+1}=a(\hat{S}_t,t)\Delta t+b(\hat{S}_t,t)\sqrt{\Delta t}\mathrm{d}Z_t$ .

2. En el Monte Carlo estándar (SMC), $\mathbb{E}f(S_t)\approx\frac1{L}\sum_{i=1}^Lf(S_t^{(L)})$ , donde $L$ es el número de simulación.

3. También podemos utilizar un único BB con $M=2^N$  tiempos uniformes generando primero el punto final y utilizando $W_t|W_T\sim\mathcal{N}\left(\frac{t}TW_T,\frac{t(T-t)}{T}\right)$ para generar puntos medios de forma recursiva.

4. En QMC, en lugar de números pseudoaleatorios, generamos utilizando secuencias de baja discrepancia, por ejemplo, puntos de lattice/Sobol de rango 1.

Por lo tanto, tengo las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo puedo combinar las ideas de BB y QMC? No he encontrado un recurso que realmente me ayude a entender cómo utilizar los dos juntos.

2. La varianza de la BB está disminuyendo geométricamente, ¿no es eso algo bueno? He leído que el BB sólo es útil para la estimación QMC de la opción europea, pero no para la SMR. ¿De dónde viene esto? El mismo recurso menciona que "tienen la misma varianza y, por tanto, la misma tasa de convergencia de $\mathcal{O}(L^{-1})$ ", lo que no tiene sentido para mí.

3. ¿Cómo se extiende esto a los activos múltiples? Hasta ahora, entiendo la descomposición de Cholesky $LL^\mathrm{T}=\Sigma$ , $L{\bf W}_t^\perp={\bf W}_t$ nos ayuda a capturar la covarianza, pero no veo cómo esto funciona con QMC/BB.

Edición: el recurso al que me refería en concreto es  este  en la página 7, que dice "Ambos esquemas tienen la misma varianza, por lo que sus tasas de convergencia MC son las mismas, pero el muestreo QMC muestra diferentes eficiencias para SD y BBD".

Answer 1

Combinación de puentes brownianos con cuasi-Monte Carlo

1. ¿Cómo puedo combinar las ideas de BB y QMC?

Los puentes brownianos son sólo un medio para producir una trayectoria browniana $W$ y Monte Carlo es un medio por el cual podemos evaluar las expectativas y las integrales. El Monte Carlo normal utilizaría un conjunto de puntos pseudoaleatorios $U$ para estimar tales cosas, mientras que el cuasi-Monte Carlo utilizaría un conjunto de puntos de baja discrepancia $\tilde{U}$ . Entonces, ¿qué hay que cambiar en el esquema de Montecarlo? Los uniformes que generan los incrementos gaussianos $Z$ (también conocidas como variables aleatorias normales) deben cambiarse por uniformes cuasialeatorios de baja discrepancia. Para preservar la propiedad de baja discrepancia de la secuencia, es mejor utilizar un mapeo que no rechace ninguna muestra. Podría decirse que lo mejor para esto es el método de la transformación inversa, para el que solemos tener para Monte Carlo regular $Z=\Phi^{-1}(U)$ , donde $\Phi^{-1}$ es la función de distribución acumulativa inversa de la distribución gaussiana estándar. En cambio, para el cuasi-Monte Carlo se utilizan variables aleatorias cuasi-Gaussianas $\tilde{Z}=\Phi^{-1}(\tilde{U})$ .

Aparte de esto, se puede proceder con normalidad, aunque para obtener buenas estimaciones se debe hacer un cuasi-Monte Carlo aleatorio.

No he encontrado un recurso que realmente me ayude a entender cómo usar los dos juntos.

Creo que el mejor recurso es Cuasi-Monte Carlo aleatorio: una introducción para Profesionales por Pierre l'Ecuyer.

3. ¿Cómo se extiende esto a los activos múltiples?

Teniendo esto en cuenta, creo que sólo tienes que proceder como lo harías habitualmente, pero utilizando el conjunto de variables aleatorias cuasi-gaussianas (y teniendo en cuenta la aleatorización de tus secuencias uniformes).

En cuanto a su segunda pregunta sobre el SMC (Monte Carlo secuencial, supongo), la varianza de los puentes brownianos y su recurso (no nombrado), no sé lo suficiente como para sugerir una respuesta que aborde este punto.