Comenzamos con una función de producción: $f(k,l)$ que nos indica la cantidad que se producirá si utilizamos $k$ unidades de capital y $l$ unidades de trabajo. Supongamos que podemos crear esa cantidad de capital por $dk$ unidades y cambiar la cantidad de trabajo por $dl$ unidades. Si se elige este cambio para que nos mantengamos en la misma isocuanta entonces debe ser que la producción total no cambie:
$$\frac{\partial f(k,l)}{\partial k}dk+\frac{\partial f(k,l)}{\partial l}dl=0.$$
Reordenando, obtenemos
$$\frac{dk}{dl}=-\frac{\frac{\partial f(k,l)}{\partial l}}{\frac{\partial f(k,l)}{\partial k}}.$$
Esta es la tasa marginal de sustitución técnica La pendiente de la isocuanta. Tiene la misma interpretación que cualquier otra pendiente. Significa que si aumento el trabajo en una unidad, puedo reducir el capital en $$\frac{\frac{\partial f(k,l)}{\partial l}}{\frac{\partial f(k,l)}{\partial k}}$$ unidades.
Ejemplo Supongamos que tenemos una función de producción Cobb-Doublas: $f(k,l)=k^a l^{1-a}$ . Tenemos
$$\frac{\partial f(k,l)}{\partial k}=ak^{a-1}l^{1-a}$$
$$\frac{\partial f(k,l)}{\partial l}=(1-a)k^{a}l^{-a}$$
$$MRTS=-\frac{(1-a)k^{a}l^{-a}}{ak^{a-1}l^{1-a}}=-\frac{1-a}{a}\frac{k}{l}.$$
Ahora podemos introducir algunos números en este ejemplo para ver cómo funciona. Supongamos que $a=1/2$ y actualmente tenemos $k=4$ y $l=1$ . Entonces, tenemos
$$MRTS=-\frac{1/2}{1/2}\frac{4}{1}=-4.$$
Así pues, por cada unidad de aumento de la cantidad de mano de obra empleada, podemos disminuir la cantidad de capital empleado en 4 unidades.
Esto también funciona al revés, por lo que cada unidad de de la vida de las personas. $l$ exigiría un aumento de 4 unidades en $k$ para mantenernos en la misma isocuanta.
