valores negativos en el movimiento browniano geométrico

Question

UN GBM

$ \frac{dx}{x} = \mu dx + \sigma dW $

resuelve a

$x_t = x_o e^{(\mu - \sigma^2)t + \sigma W_t}$

De la solución se desprende que $x_t$ no puede ser negativo. Sin embargo, no está tan claro en la SDE. De hecho, si hago simulaciones utilizando la SDE, x se vuelve negativa con mucha frecuencia para ciertas combinaciones de parámetros.

La no negatividad de $x_t$ válido sólo en caso de $dt->0$

He aquí una simulación:

Answer 1

Estoy de acuerdo con la fórmula errónea en la simulación, pero creo que entiendo la pregunta. Esta es mi opinión al respecto:

La razón por la que la SDE puede parecer que permite un valor negativo de x es porque dW puede ser un número negativo grande, y por lo tanto puede mover x de valores positivos a negativos. Si esa es la confusión, eso se justifica sólo en el caso discreto.

Haz un experimento mental. Imagina el punto de transición de x de positivo a negativo en el caso discreto. Ahora, para acercarte al caso continuo, puedes disminuir dt e imaginar que x pasa de positivo a cero primero, y luego a negativo. Pero tu SDE establece que dx = x multiplicado por algo. Así que cuando x->0, dx también ->0. Esto debería ayudarte a entender que los valores negativos sólo provienen de la discretización de un proceso que, por lo demás, es continuo.

Ahora bien, si arreglas tus fórmulas en la simulación y haces que sea E3= E2+ D2*E2 (en lugar de D2+ D2*E2 que es lo que usabas), puedes seguir obteniendo valores negativos si sigma es realmente grande y dt no es lo suficientemente pequeño. Pero prueba a cambiar dt en relación con sigma y te resultará más difícil obtener valores negativos. Además, es posible que Excel tenga un límite de lo pequeño que puede ser.

Espero que sea de ayuda.