Cálculo de la matriz de transición para la calificación crediticia

Question

Digamos que tengo Cumulative default rates para diversas calificaciones crediticias, como se indica a continuación

Teniendo en cuenta esto, ¿cómo puedo calcular el Transition matrix ?

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Para llegar a una respuesta (parcial), supongamos que las transiciones anuales de la calificación crediticia forman una cadena de Markov con estado de incumplimiento absorbente $D$ .

Además, supongamos que tenemos $K$ estados no predeterminados (en su ejemplo, $K=7$ ). Así, formularé una matriz de transición $T$ que contiene las probabilidades de transición del estado $k$ al estado $k'$ . Las columnas representan el estado al principio del periodo, las filas el estado al final del periodo:

$$ \begin{align} T=\begin{pmatrix} p_{1\to1} & p_{2\to1} & \ldots & p_{K\to 1} & 0\\ p_{1\to2} & p_{2\to2} & \ldots & p_{K\to 2} & 0\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ p_{1\to K} & p_{2\to K} & \ldots & p_{K\to K} & 0\\ p_{1\to D} & p_{2\to D} & \ldots & p_{K\to D} & 1\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}\mathbf{M} & \mathbf{0}\\ \mathbf{p} &1\end{pmatrix} \end{align} $$

La matriz de transición está compuesta por la submatriz de transición pura no predeterminada $\mathbf{M}$ y la probabilidad de transición por defecto (vector) $\mathbf{p}$ .

A continuación, obtenemos las probabilidades de impago acumuladas implícitas tras $N$ años. Sabemos que el $N$ de la matriz de transición contiene las probabilidades de incumplimiento acumuladas en su elemento inferior izquierdo (véase más arriba). Por lo tanto, nos interesa:

$$ \begin{align} \mathbf{p}_{(N=1)}&=\mathbf{T}_{\{2,1\}}=\mathbf{p}\\ \mathbf{p}_{(N=2)}&=\mathbf{T}^2_{\{2,1\}}=\mathbf{p}+\mathbf{pM}=\mathbf{p}\left(\mathbf{I}+\mathbf{M}\right)\\ \mathbf{p}_{(N=3)}&=\mathbf{T}^3_{\{2,1\}}=\mathbf{p}+\mathbf{pM}+\mathbf{pM}^2=\mathbf{p}\left(\mathbf{I}+\mathbf{M}+\mathbf{M}^2\right)\\ &\ldots\\ \mathbf{p}_{(N=n)}&=\mathbf{T}^n_{\{2,1\}}=\ldots=\mathbf{p}\sum_{i=0}^{n-1}\mathbf{M}^i \end{align} $$

que se puede reformular como $$ \begin{align} \mathbf{p}_{(N=n)}&=\mathbf{p}_{(N=1)}+\mathbf{p}_{(N=n-1)}\mathbf{M} \end{align} $$

O, como un sistema de ecuaciones matriciales:

$$\mathbf{D}=\mathbf{C M}$$

donde la matriz $\mathbf{D}$ contiene en cada fila $k$ El $k+1$ La probabilidad de impago acumulada menos el primer vector de probabilidad de impago y la matriz $C$ contiene en cada fila $k$ el $k$ vector de probabilidad de impago acumulada.

Por último, la matriz $M$ se encuentra a través de

$$ \mathbf{M}=\mathbf{C}^{-1}\mathbf{D} $$

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Ejemplo trabajado.

Digamos que conozca que nuestra matriz de transición $T$ es $$ T=\begin{pmatrix} 80\% & 8\% & 5\% & 0\\ 10\% & 75\% & 10\% & 0\\ 8\% & 10\% & 70\% & 0\\ 2\% & 7\% & 15\% & 100\%\\ \end{pmatrix} $$

El año $k$ -la probabilidad de incumplimiento acumulada se encuentra en la submatriz inferior izquierda correspondiente en el $k$ potencia de la matriz. En nuestro caso, la en la fila Las probabilidades acumuladas por defecto son:

$$ cumulative PD = \begin{pmatrix} 2\% & 7\% & 15\% \\ 5.5\% & 13.91\% & 26.30\% \\ 9.90\% & 20.50\% & 35.08\% \\ 14.77\% & 26.68\% & 42.10\% \\ \end{pmatrix} $$

Encontramos las matrices correspondientes como

$$ \mathbf{D}=\begin{pmatrix} 3.50\% & 6.91\% & 11.30\% \\ 7.90\% & 13.50\% & 20.08\% \\ 12.77\% & 19.68\% & 27.10\% \end{pmatrix} $$

y $\mathbf{C}$ es simplemente la matriz de las tres primeras filas de nuestra matriz de DP acumulada.

Calculando $\mathbf{C}^{-1}\mathbf{D}$ recuperará la matriz de transición $M$ .

Tenga en cuenta que, en la práctica, este enfoque es muy propenso a problemas de precisión. Si utiliza literalmente las DP acumuladas indicadas anteriormente (hasta 4 dígitos de precisión), no recuperará la matriz de transición inicial. Por lo tanto, debe formar un sistema de ecuaciones más grande (¡como en su ejemplo!) y utilizar más información, es decir, encontrar $M$ como

$$ \hat{M}=\left(\mathbf{C}^T\mathbf{C}\right)^{-1}\mathbf{C}^T\mathbf{D} $$

...o hay que recurrir a una rutina de optimización para formular las restricciones adecuadas (por ejemplo, que las probabilidades sumen $1-PD_1$ ...)

Para resumir las carencias de este método:

1. Puede fallar si el proceso de transición subyacente no es Markov (creo...)
2. Puede dar resultados sin sentido si la precisión de la matriz de PD acumulada no es lo suficientemente alta. Esto puede contrarrestarse utilizando una matriz acumulativa de DP grande, $T>>K$ .

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Ejemplo R código de abajo como por su solicitud en el comentario.

# this is our initial transition matrix
# we use it only ot produce the cumulative PDs (as in your table)

transition_matrix <- t(matrix(c(
                0.80,0.08,0.05,0.00
               ,0.10,0.75,0.10,0.00
               ,0.08,0.10,0.70,0.00
               ,0.02,0.07,0.15,1.00),4,4)) 

# simple helper function for a matrix power (don't use in production)
matrix_power <- function(x, n) Reduce(`%*%`, replicate(n, x, simplify = FALSE))

# for K = 3 states, we need at least K + 1 = 4 cumulative default time horizons (4 years)
N <- 4 

# cumulative PD table (as in your example, but transposed)
CPD <- t(sapply(1:N, function(i){matrix_power(transition_matrix,i)[4,1:3]})) 

# the D matrix in my answer
D <- t(apply(CPD[-1,],1,function(x){x-CPD[1,]}))
# the C matrix in my answer
C <- CPD[1:N-1,]

# the OLS style solution. If N==K+1, this boils down to solve(C) %*% D
solve(t(C) %*% C) %*% t(C) %*% D

# output here for convenience:
     [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.80 0.08 0.05
[2,] 0.10 0.75 0.10
[3,] 0.08 0.10 0.70

Lo único que hay que hacer es actualizar el CPD a sus necesidades y ejecutar la última parte del código.