Determinación del precio de las opciones binarias o digitales o, en general, de las opciones con pagos discontinuos mediante EDP

Question

Estoy tratando de encontrar referencias (libros, documentos, etc.) para calcular $\mathbb E f(X_T)$ , donde $X_T$ es una difusión y $f$ es una función real que no es continua, mediante la resolución de una EDP o ecuación de Feynman-Kac.

Editar dirigiéndose a los comentarios: Incluso si la EDP tiene una solución, sólo se puede demostrar que es igual a la expectativa bajo ciertas condiciones. Por eso pido una referencia para la caclulación de la expectativa como solución de una EDP y no sobre la EDP y sus soluciones en sí mismas.

Cualquier "teorema de verificación" de este tipo utiliza básicamente la fórmula de Ito para la función de valor y, por tanto, requiere una doble diferenciabilidad. Esto sólo puede garantizarse para la solación de la EDP si los datos finales son continuos. Por lo tanto, no me interesan los argumentos de "debería funcionar sin más", sino más bien las respuestas o referencias al "cuándo" y al "por qué".

Gracias

Answer 1

si tomamos una opción digital y el precio bajo BS entonces se puede hacer todo por verificación directa.

es decir $N(d_2)$ resuelve la EDP y converge al pago final puntualmente.

Así que si el pago final tiene un número finito de discontinuidades de salto, entonces resta una combinación lineal de digitales para reducir al caso continuo.

Answer 2

$E\{f(X_T)\}$ puede seguir existiendo aunque $f$ no es continua.

Por ejemplo, $$ \begin{equation} f: x \mapsto \begin{cases} 1, \, x >= 3 \\ 0, \text{ otherwise} \end{cases} \end{equation} $$

Entonces $$ \begin{equation} E\{f(X_T)\} = P(\{X_T >= 3\}) \end{equation} $$

Así, si su ejemplo es una opción binaria que paga 1 si $X_T >= B$ y cero en caso contrario, y $\{X_t\}$ sigue una difusión estándar, $$ \begin{equation} dX_t = X_t(r dt + \sigma dW_t) \end{equation} $$ obtendrás $$ \begin{eqnarray} V_t &=& e^{-r\tau}\mathbb{E}\{1_{\{X_T >= B\}}|\mathcal{F_t}\} \\ &=& e^{-r\tau}P(\{X_T >= B\}) \\ &=& e^{-r\tau}\Phi\left(\frac{\log\left(\frac{X_t}{B}\right) + (r - \frac{\sigma^{2}}{2})\tau}{\sqrt{\tau}\sigma}\right) \end{eqnarray} $$ , donde $\tau := T - t$ .

Para calcular $\mathbb{E}\{f(X_T) | \mathcal{F_t}\}$ se encontraría el diferencial estocástico de $$\begin{equation} e^{-rT}\mathbb{E}\{f(X_T) | \mathcal{F_t}\} = e^{-rt}V_t. \end{equation} $$ Establezca el "término dt" en cero (lo que da la EDP de Black-Scholes) y establezca las condiciones de contorno apropiadas. La condición de contorno del extremo temporal es su función de pago. Para los límites superior e inferior en la dimensión espacial, deberá establecer valores "convenientemente grandes". Los esquemas numéricos reales para resolver las EDP se pueden encontrar en los libros de texto estándar sobre las EDP.