Intensidad por defecto en el modelo Black-Cox

Question

Considere el modelo de Black y Cox (Journal of Finance, 1976).

La función de intensidad de incumplimiento se define de la manera habitual: $$h(t) \equiv - \frac{\partial \log P[\tau > t| \mathcal{F}_t]}{\partial t}$$ donde $\tau$ es el primer tiempo de impacto de una barrera absorbente constante $V_b$ de un movimiento Browniano geométrico $V_t$, y $\mathcal{F}_t$ es la filtración hasta el tiempo $t$. En el modelo de Black-Cox, $h(t) \in \{0, \infty\}$. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Como se muestra en Notas de Modelado de Riesgo de Crédito (Bielecki, Jeanblanc, Rutkowski), Corolario 1.3.1, para $t < s$, tenemos:

$$ P(\tau \leq s | {\cal F}_t) = N\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}- \nu(s-t)^{1/2}\right ) + {\rm e}^{-2\nu \sigma^{-2}Y_t} N\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}+ \nu(s-t)^{1/2}\right ),$$

donde

$$ Y_t = y_0+ \nu t +\sigma W_t, \: \sigma >0, $$ $$ \tau = \inf \; \{t\geq 0 | Y_t = 0 \}, $$ y $N$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar.

(En sus notaciones, $Y_t$ es la distancia al incumplimiento, $Y_t =\ln (V_t/V_b)$.)

Luego calculamos la probabilidad de densidad condicional de la siguiente manera: $$ \frac{\partial P(\tau \leq s | {\cal F}_t)}{\partial s} $$ $$ = n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}- \nu(s-t)^{1/2}\right) \left( 2^{-1}Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-3/2}- 2^{-1}\nu(s-t)^{-1/2}\right) $$ $$ + {\rm e}^{-2\nu \sigma^{-2}Y_t} n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}+ \nu(s-t)^{1/2}\right) \left( 2^{-1}Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-3/2}+ 2^{-1}\nu(s-t)^{-1/2}\right) $$

$$ = n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}- \nu(s-t)^{1/2}\right) Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-3/2}, $$

observando que $$ {\rm e}^{-2\nu \sigma^{-2}Y_t} n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}+ \nu(s-t)^{1/2}\right) = n\left( -Y_t \sigma^{-1}(s-t)^{-1/2}-\nu(s-t)^{1/2}\right),$$

donde $n$ es la función de densidad de probabilidad de una normal estándar.

Usando L'Hospital obtenemos:

$$ \lim_{s\rightarrow t^+} \frac{\partial P(\tau \leq s | {\cal F}_t)}{\partial s} =0.$$