Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una función de utilidad

Question

Estaba leyendo Jehle y Reny, Advanced Microeconomic Theory, donde discuten en detalle, el problema de elección de un consumidor. El conjunto de consumo (o conjunto de elección) $X$ es un subconjunto de $R_+^n$ es cerrado y convexo y contiene $0\in R_+^n$ . Definen una relación de preferencia $\succeq$ en $X$ que satisface la completitud, la transitividad y la continuidad. Luego argumentan que estas condiciones son suficientes para la existencia de una función de utilidad continua de valor real que represente la relación de preferencia $\succeq$ .

Me preguntaba si hay resultados más generales sobre la existencia de funciones de utilidad (continuas o no) para representar preferencias racionales. El teorema de Jehle y Reny no dice nada sobre los casos en los que el conjunto de elección no satisface las condiciones asumidas o cuando simplemente no nos importa la continuidad de la función de utilidad. Por ejemplo, si $C= \{a, b, c\}$ es el conjunto de elección y el orden de preferencia es simplemente $a, b, c$ (la relación de preferencia está definida en consecuencia), entonces $u: C\rightarrow R$ , $u(a)=10, u(b)=2.5, u(c)=\frac{\pi}{100}$ es una función de utilidad legítima, pero el teorema de Jehle y Reny no dice nada sobre estos casos. De nuevo, las famosas preferencias lexicográficas (que satisfacen la racionalidad pero violan la continuidad) no tienen funciones de utilidad, pero el teorema de Jehle y Reny no nos dice nada al respecto. Quería conocer las condiciones necesarias y suficientes más generales para la existencia de funciones de utilidad, que también cubren estos y otros casos posibles.

Formalmente, dejemos que $C$ sea el conjunto de todas las opciones concebibles (sin condiciones asumidas hasta ahora), y sea $\succeq$ sea una relación binaria sobre $C$ que satisface la completitud y la transitividad.

¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que $C$ y $\succeq$ debe satisfacer, de modo que una función de utilidad de $C$ a $R$ que representa $\succeq$ existe ?

Agradecería tanto pruebas y/o materiales de referencia para esto, o incluso soluciones parciales.

Answer 1

Lo que sigue se debe esencialmente a Debreu. El resultado se formula en términos de órdenes lineales, pero cada relación completa y transitiva induce un orden lineal en las clases de indiferencia:

Teorema: Dejemos que $S$ sea un conjunto y $\preceq$ sea un orden lineal en $S$ . Entonces $\preceq$ tiene una representación de utilidad si y sólo si existe un conjunto contable $C\subseteq S$ de manera que siempre que $x\prec y$ entonces hay algo de $c\in C$ tal que $x\preceq c\preceq y$ .

Prueba: Para ver que la condición es necesaria para la existencia de una representación de utilidad, dejemos que $u$ sea una representación de utilidad de $\preceq$ . Llame a $(x,y)\in S\times S$ a saltar si $x\prec y$ y no hay $z$ tal que $x\prec z\prec y$ . Demostramos que el conjunto de saltos es contable. Claramente, si $(x,y)$ y $(x',y')$ son ambos saltos, entonces $\big(u(x),u(y)\big)$ y $\big(u(x'),u(y')\big)$ son intervalos disjuntos de números reales. Cada uno de estos intervalos contiene un número racional, por lo que existe una función inyectiva de los saltos a los números racionales y, por tanto, el conjunto de los saltos es contable. Sea $J$ sea el conjunto de todos los elementos de $S$ que se producen como primera o segunda coordenada de un salto. Claramente, $J$ también es contable. Sea $$Q=\Big\{(q_1,q_2)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}:q_1<q_2, u^{-^1}\big((q_1,q_2)\big)\neq\emptyset\Big\}.$$ El conjunto $Q$ es contable. Para cada $(q_1,q_2)\in Q$ , elija algunos $s\in u^{-^1}\big((q_1,q_2)\big)$ y que $B$ sea el conjunto de tales $s$ . $B$ también es contable y podemos elegir $C=B\cup J$ .

Ahora mostramos que la existencia de tal conjunto $C$ es suficiente para la existencia de una representación de utilidad. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar $C$ sea no vacía y escriba $C=\{c_0,c_1,\ldots\}$ . Ahora defina $u$ por $$u(x)=\sum_{n:c_n\preceq x}\frac{1}{2^n}-\sum_{n:c_n\succeq x}\frac{1}{2^n}.$$ $\square$

Una fuente completa para todo lo relacionado con la existencia de funciones de utilidad es el libro Representaciones de las ordenaciones de las preferencias por Douglas S. Bridges y Ghanshyam B. Mehta.